Whiteheadin lause
 |
Tähän artikkeliin tai osioon ei ole merkitty lähteitä, joten tiedot kannattaa tarkistaa muista tietolähteistä. Voit auttaa Wikipediaa lisäämällä artikkeliin tarkistettavissa olevia lähteitä ja merkitsemällä ne ohjeen mukaan. |
Matematiikassa homotopiateoriaan kuuluva Whiteheadin lause sanoo, että jos jatkuva kuvaus f topologisten avaruuksien X ja Y välillä indusoi isomorfismin kaikkien homotopiaryhmien välille, on f homotopiaekvivalenssi olettaen, että X ja Y ovat yhtenäisiä CW-komplekseja. Tuloksen todisti J. H. C. Whitehead ja se tarjosi perustelut CW-kompleksien hyödyllisyydelle homotopiateoriassa.
Tarkemmin sanottuna, olkoon annetut CW-kompleksit X ja Y kantapisteinään x ja y tässä järjestyksessä. Olkoon f jatkuva kuvaus
- f : X → Y,
jolle f(x) = y. Kun n ≥ 0, tarkastellaan indusoituja kuvauksia
- f* : πn(X,x) → πn(Y,y),
missä πn tarkoittaa kaikilla n ≥ 1 n:ttä homotopiaryhmää. Kun n = 0 tämä tarkoittaa polkukomponenttien kuvausta. Jos sekä X että Y ovat yhtenäisiä, ei kuvaus f anna mitään tietoa avaruuksista. Sanomme, että f on heikko homotopiaekvivalenssi jos kuvaukset f* ovat kaikki bijektiivisiä. Tällöin Whiteheadin lause sanoo, että heikko topologiaekvivalenssi yhtenäisten CW-kompleksien välillä on itse asiassa homotopiaekvivalenssi.