Vyöongelma

Vyöongelma

Vyöongelma on ristissä olevan hihnan matemaattinen ongelma, missä pitää määrittää ristissä olevan hihnan pituus. Hihna yhdistää toisiinsa kaksi ympyränmuotoista taljaa, joiden säteet ovat r₁ ja r₂ ja ympyrätaljojen keskipisteiden etäisyys on P. Ratkaisemisessa tarvitaan trigonometriaa ja sen käsitteitä tangenttilinja, suorakulma ja yhtenevät kulmat.

Ratkaisu

Kolmiot ACO ja ADO ovat yhteneviä suorakulmaisia kolmioita. Samalla tavalla yhteneviä ovat myös kolmiot BEO ja BFO. Lisäksi kolmiot ACO ja BEO ovat yhteneviä. Siksi kulmat CAO, DAO, EBO ja FBO ovat yhtä suuria. Merkitään tätä kulmaa $\varphi$:lla. Hihnan pituus on

$CO+DO+EO+FO+{\text{arc}}CD+{\text{arc}}EF\,\!$

$=2r_{1}\tan(\varphi )+2r_{2}\tan(\varphi )+(2\pi -2\varphi )r_{1}+(2\pi -2\varphi )r_{2}\,\!$

$=2(r_{1}+r_{2})(\tan(\varphi )+\pi -\varphi )\,\!$

Käytetään hyväksi tietoa, jonka mukaan kaaren pituus = säde × kaarta vastaavankulman suuruus radiaaneina.

Ratkaistaan $\varphi$ yhtenevien kolmioiden ACO ja BEO avulla seuraavasti:

${\frac {AO}{BO}}={\frac {AC}{BE}}\,\!$

$\Rightarrow {\frac {P-x}{x}}={\frac {r_{1}}{r_{2}}}\,\!$

$\Rightarrow {\frac {P}{x}}={\frac {r_{1}+r_{2}}{r_{2}}}\,\!$

$\Rightarrow {x}={\frac {Pr_{2}}{r_{1}+r_{2}}}\,\!$

$\cos(\varphi )={\frac {r_{2}}{x}}={\frac {r_{2}}{\left({\dfrac {Pr_{2}}{r_{1}+r_{2}}}\right)}}={\frac {r_{1}+r_{2}}{P}}\,\!$

$\Rightarrow \varphi =\cos ^{-1}\left({\frac {r_{1}+r_{2}}{P}}\right)\,\!$

Havaitaan, että hihnan pituus riippuu tietyllä taljojen keskipisteiden välisellä etäisyydellä ainoastaan säteiden summan r₁ + r₂ arvosta.

Taljaongelma

Taljaongelma

Kahden väkipyörän välissä oleva hihnan pituus on samankaltainen pulma kuin ristissä olevan hihnan pulma. Tässä tapauksessa hihna ei ole kuitenkaan ristissä. Hihnan pituus lasketaan seuraavasti:

$2P\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)+r_{1}(2\pi -\theta )+r_{2}{\theta }\,,$

missä r₁ on suuremman taljan säteen pituus ja r₂ pienemmän taljan säteen pituus. Kulman suuruus saadaan laskettua seuraavasti:

$\theta =2\cos ^{-1}\left({\frac {r_{1}-r_{2}}{P}}\right)\,.$

Sovelluksia

Vyöongelman ratkaisua sovelletaan käytännössä suunniteltaessa lentokoneita, polkupyörien vaihteistoja, autoja ja muita sellaisia laitteita, missä tarvitaan hihnoja ja väkipyöriä. Ongelman ratkaisun sovelluksina ovat myös lentokenttien matkalaukkujen kuljetinhihnat ja tehtaiden automaatiolinjastot.

Lähteet

1. http://brainmass.com/math/trigonometry/77582 2. http://www.beltbrake.com/tech.htm (Arkistoitu – Internet Archive)