Virheen kasautumislaki

Virheen kasautumislakia eli keskivirheen kasautumislakia käytetään, kun mittaustuloksista ja niiden virheistä lasketaan jokin toinen suure ja sille virhe. Virheellä ei tässä tarkoiteta arkikielestä tuttua virhettä vaan jokaiseen mittaukseen liittyvää epätarkkuutta ja tuloksen epävarmuutta. Virhe kuvaa tässä tuloksen sisäistä tarkkuutta (englanniksi precision).

Virhettä merkitään symbolilla $\Delta$, siten että $x$:n virhe on $\Delta x$. Suure $x$ voi olla mikä tahansa suure, jonka virhettä halutaan kuvata. Esimerkiksi jännite $U$, jolloin jännitteen virhe on $\Delta U$. Jos on mitattu useampaan kertaan samaa suuretta, esimerkiksi johonkin tiettyyn matkaan kulunut aika, saadaan jakauma mittaustuloksia, jotka usein ovat normaalijakautuneita. Tällöin jakauman otoskeskiarvo on mittaustulos, jonka virhe on otoshajonta.

Esimerkki. On haluttu mitata kappaleen nopeus $v$ mittaamalla kappaleen kulkema matka $s$ ja matkaan kuluttama aika $t$. Kappaleen nopeus $v=s/t$, mutta mikä on tuloksen epävarmuus? Matkan ja ajan virheet ($\Delta s$ ja $\Delta t$) tunnetaan (esimerkiksi mittaustarkkuudesta), joten oikea tapa menetellä on laskea nopeuden virhe käyttäen virheen kasautumislakia, jossa virhe kasautuu. Nopeuden virhe siis nimenomaan ei ole suoraan $\Delta v=\Delta s/\Delta t$ vaan jotain muuta.

Matemaattinen esitys

Olkoon $f(x_{1},x_{2},...,x_{n})$ funktio, joka riippuu $n$:stä muuttujista $x_{1},x_{2},...,x_{n}$. Kullakin muuttujalla on virhe ($\scriptstyle \Delta x_{1},\Delta x_{2},...,\Delta x_{n}$) eli jokainen muuttuja voidaan ilmaista muodossa $\scriptstyle x_{i}\pm \Delta x_{i}$.

Jos muuttujat ovat riippumattomia, $f$:n epävarmuus $\Delta f$ johtuu jokaisen muuttujan yksittäisestä virheestä $\Delta x_{i}$ ja se voidaan laskea yhtälöllä:

$\Delta f=\Delta f\left(x_{1},x_{2},...,x_{n},\Delta x_{1},\Delta x_{2},...,\Delta x_{n}\right)={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}\Delta x_{i}\right)^{2}}}\,$,

missä $\scriptstyle {\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}$ on funktion $f$ osittaisderivaatta muuttujan $x_{i}$ suhteen.

Jos muuttujat eivät ole toisistaan riippumattomia täytyy ottaa huomioon jokaisen muuttujaparin välinen kovarianssi $\scriptstyle C_{i,k}={\textrm {cov}}(x_{i},x_{k})\$ :

$\Delta f={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}\sum _{k=1}^{n}\left({\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}{\frac {\partial f}{\partial x_{k}}}C_{i,k}\right)}}\,$,

missä $C_{i,i}={\textrm {var}}(x_{i})=\Delta x_{i}^{2}$.

Lasketun tuloksen $f$ epävarmuus voidaan nyt ilmaista $\Delta f$:n avulla $\scriptstyle f\pm \Delta f\$.

Tuloksen pyöristäminen

Tulos ja sen virhe esitetään lopullisessa muodossaan aina pyöristettynä samaan tarkkuuteen. Esimerkiksi, jos tulokseksi on laskettu T = 3,058 s ja virheeksi ΔT = 0,987 s, tulee tulos pyöristää T = 3 s ja virhe ΔT = 1 s. Virhe siis määrää kuinka monta merkitsevää numeroa tuloksesta ilmoitetaan. Yleensä tapana on ilmoittaa virhe (ja tulos) kahden yksikön tarkkuudella vain, jos virhe alkaa ykkösellä tai korkeintaan kakkosella. Esimerkiksi 1,06 m$\pm$0,15 m on oikein pyöristetty tai 0,97 m$\pm$0,21 m, mutta 2,17 m$\pm$0,37 m on kyseenalainen, sillä virhe alkaa kolmosella. Oikeampi pyöristys olisi 2,2 m$\pm$0,4 m.

Pyöristys tehdään aina tarkimman arvon perusteella. Jo pyöristettyä tulosta ei siis enää uudelleen pyöristetä vaan pyöristys tehdään alkuperäisestä tuloksesta. Esimerkiksi välituloksia ei pyöristetä. Jos aluksi virheen tiedetään olevan 0,345 m ja se pyöristetään kahteen merkitsevään desimaaliin 0,35 m. Uudelleen pyöristäminen aiheuttaisi pyöristyksen 0,4 metriin, vaikka oikea pyöristys pyöristämättömästä virheestä antaa pienemmän virheen 0,3 m (ja samalla tarkemmin ilmoitetun tuloksen!). Tulosta ja virhettä ei pidä pyöristää turhaan ylöspäin, jotta sitä ei keskimäärin yliarvioida tulossarjoissa.

Esimerkkilasku: resistanssin epävarmuus

Halutaan laskea resistanssi $R$, kun on mitattu vastuksen läpi kulkeva virta $I$ ja sen yli oleva jännite $U$. Ohmin lain mukaan $R=U/I$.

Mittausepävarmuudet tunnetaan suoraan vaikkapa yleismittarin asteikon tarkkuudesta $I\pm \Delta I$ ja $U\pm \Delta U$, jolloin laskettu epävarmuus $\Delta R$ saadaan

$\Delta R={\sqrt {\left({\frac {\Delta U}{I}}\right)^{2}+\left({\frac {U}{I^{2}}}\Delta I\right)^{2}}}=R{\sqrt {\left({\frac {\Delta U}{U}}\right)^{2}+\left({\frac {\Delta I}{I}}\right)^{2}}}.$

Yksinkertaisemmin ilmaistava suhteellinen virhe $\Delta R/R$ on siis neliöjuuri mitattujen suureiden suhteellisten virheiden neliöiden summasta.

Sijoitetaan laskuun vielä numerot. Oletetaan, että jännite $U=5{,}1\pm 0{,}1\ {\textrm {V}}$ ja virta $I=2{,}45\pm 0{,}02{\textrm {A}}\$. Tällöin resistanssi

$R={\frac {U}{I}}={\frac {5{,}1\ {\textrm {V}}}{2{,}45\ {\textrm {A}}}}=2{,}0816\ \Omega$

ja resistanssin virhe

$\Delta R=2{,}08\ \Omega {\sqrt {\left({\frac {0{,}1\ {\textrm {V}}}{5{,}1\ {\textrm {V}}}}\right)^{2}+\left({\frac {0{,}02\ {\textrm {A}}}{2{,}45\ {\textrm {A}}}}\right)^{2}}}=0{,}044\ \Omega .$

Virheen pyöristyssääntöjen mukaan tulos ilmoitetaan pyöristettynä $\Delta R=2{,}08\pm 0{,}04\ \Omega$.

Lähteet

• John Robert Taylor: An introduction to error analysis: the study of uncertainties in physical measurements, 2. painos. University Science Books, 1997. ISBN 9780935702750 (englanniksi)