Verrannollisuus

Verrannollisuus on matematiikassa ja luonnontieteissä kahden suureen välinen erityinen riippuvuus, jossa kussakin tilanteessa suureiden saamien arvojen suhde pysyy vakiona. Matemaattisesti tämä voidaan ilmaista yhtälöllä. Olkoon suureet A ja B verrannolliset, jolloin niiden arvojen suhde on aina k. Silloin voidaan kirjoittaa

$A:B={\frac {A}{B}}=k.$

Tällöin sanotaan, että "suure A on verrannollinen suureeseen B" ja se voidaan lyhentää joko $A\sim B$ tai $A\propto B$.

Edellinen yhtälö voidaan kirjoittaa myös tulomuodossa

$A=kB.$

Jos suureet A ja B ovat samanlaatuiset eli niillä on samat mittayksiköt, on kerroin k luku ja sitä kutsutaan suhdeluvuksi. On kuitenkin varsin yleistä, että suureet A ja B ovat erilaatuiset, jolloin kerroin k on itsekin suure ja sillä on mittayksikkö. Tällöin suuretta k kutsutaan myös verrannollisuuskertoimeksi.

Verrannolliset suureet, verrannollisuuskerroin ja verranto

Kahden samanlaatuisen (samat mittayksiköt) suureen A ja B suhde merkitään

$A:B={\frac {A}{B}}=k.$

Suhde esittää kahta eri tilannetta, jossa verrataan samaa laautua olevia suureita keskenään. Tällainen tilanne on esimerkiksi kahden pinta-alan välinen suhde

$3m^{2}:6m^{2}=1:2$

ja kerroin k = 1 : 2 = 0,5 on tällöin paljas luku, koska mittayksiköt supistuvat pois.

Kahden erilaatuisen (eri mittayksiköt) suureiden A ja B suhde merkitään samalla tavalla

$A:B={\frac {A}{B}}=k,$

missä kerroin k on mittayksiköllinen suure. Esimerkiksi talon yhden $A=3m^{2}$ suuruisen seinän maalaamiseen kuluu $B=0,25l$ maalia. Verrannollisuuskertoimeksi saadaan

${\frac {A}{B}}={\frac {3m^{2}}{0,25l}}=12{\tfrac {m^{2}}{l}}=k.$

Saman talon toista seinää toisena päivänä maalatessa suureet C ja D ovat erilaiset. Nyt merkitään

${\frac {C}{D}}={\frac {6m^{2}}{0,50l}}=12{\tfrac {m^{2}}{l}}=k,$

missä k on edelleen sama, koska maalin kulutus on säilynyt samana. Suhdeluvut ovat samat, joten suureet A ja B sekä C ja D ovat verrannolliset ja tämä merkitään suuren mitatuilla arvoilla

$3m^{2}\sim 0,25l$ ja $6m^{2}\sim 0,5l$

tai suureiden muuttujilla

$A\sim B$ ja $C\sim D$

tai suureiden nimillä

${\mbox{pinta-ala}}\sim {\mbox{maalin määrä}}.$

Matemaattisesti nämä kaksi suhdetta (maalaustilannetta) voidaan kirjoittaa verrantoyhtälöksi, koska verrannollisuuskertoimet täsmäävät

${\frac {A}{B}}=k\land {\frac {C}{D}}=k\Rightarrow {\frac {A}{B}}={\frac {C}{D}}.$

Suoraan verrannollisuus

Suoraan verrannollisuus on toinen nimitys suureiden A ja B verrannollisuudelle, jotka ovat suoraan sellaisinaan toisilleen verrannollisia. Tämä merkitään edelliseen tapaan $A\sim B$ ja verrannollisuuskertoimen sisältävä yhtälö kirjoitetaan $A=kB.$

Toisilleen suoraan verrannolliset suureet ovat esimerkiksi omenien paino m ja niiden hinta h. Silloin verrannollisuuskerroin k on esimerkiksi $k=2,15{\tfrac {E}{kg}}$ eli kilohinta ja ostoksen hinta laksetaan yhtälöstä $h=km$.

Kääntäen verrannollisuus

Suureet A ja B ovat kääntäen verrannollisia, jos suureen A käänteisarvo (käänteisluku) on verrannollinen suureeseen B, tai päin vastoin. Tämä merkitään joko ${\frac {1}{A}}\sim B$ tai $A\sim {\frac {1}{B}}$ (potenssina $A\sim B^{-1}$), ja yhtälö kirjoitetaan joko $A=k{\frac {1}{B}}$ (potenssina $A=kB^{-1}$) tai $AB=k.$

Toisilleen kääntäen verrannollisia suureita ovat esimerkiksi samaan automatkaan liittyvät keskinopeus v ja ajoaika t. Silloin nopeuden kasvaessa aika lyhyenee ja päinvastoin. Tämä kirjoitetaan $v\sim t^{-1}$. Verrannollisuuskerroin k on silloin $k=100km$ (kilometriä) eli kuljettava matka, kun $v={\tfrac {k}{t}}$.

Neliöön ja kuutioon verrannollisuus

Neliöön verrannolliset suureet voidaan merkitä $A\sim B^{2}$, jolloin suureet A ja B eivät ole suoraan verrannolliset mutta suureet A ja B² ovat sitä. Näistä muodostettu yhtälö on (suureen positiiviset arvot)

$A=kB^{2}$

joka voidaan muuntaa

${\sqrt {A}}={\sqrt {kB^{2}}}$ eli ${\sqrt {A}}=bB,$

missä b² = k. Neliöön verrannollisuus on (lähes) sama kuin neliöjuureen verrannollisuus ${\sqrt {A}}\sim B.$

Esimerkiksi paikaltaan lähtevän ja tasaisesti kiidyttävän junan liike-energia E on neliöön verrannollinen junan loppunopeuteen v. Verrannollisuuskerroin k on junan massan puolikas, kuten yhtälöstä $E={\tfrac {1}{2}}mv^{2}=kv^{2}$ huomataan.

Kuutioon verrannolliset suureet voidaan merkitä $A\sim B^{3}$, jolloin suureet A ja B³ ovat suoraan verrannolliset. Näistä muodostettu yhtälö

$A=kB^{3}$

voidaan muuntaa

${\sqrt[{3}]{A}}=bB$

missä b³ = k. Kuutioon verrannollisuus on sama kuin kuutiojuureen verrannollisuus ${\sqrt[{3}]{A}}\sim B.$

Esimerkiksi kalastajatroolarin moottorin tehontarve P on kuutioon verrannollinen veneen saavuttamaan huippunopeuteen v. Verrannollisuuskerroin k on esimerkiksi $k=270{\tfrac {kg}{m}}$, kun riippuvuus kirjoitetaan yhtälönä $P=kv^{3}$.

Potenssiin verrannollisuus

Yleisesti ilmaistuna suureet A ja B ovat potenssiin verrannolliset, kun $A^{n}\sim B^{m}$ eli $A^{\tfrac {n}{m}}\sim B$ eli $A\sim B^{\tfrac {m}{n}}$.

Esimerkiksi ympyräradalla Aurinkoa kiertävä planeetta noudattaa Keplerin III lakia. Sen mukaan kiertoajan T neliö on verrannollinen ratasäteen R kuutioon eli $T^{2}\sim R^{3}$. Silloin Maan kiertoradan yhtälössä verrannollisuuskerroin k on $k=1{\tfrac {a^{2}}{AU^{3}}}$ ja $T^{2}=kR^{3}$.

Katso myös

• Korrelaatio ja lineaarinen regressioanalyysi ovat myös luonnontieteellisisiä mallinnusvälineitä.
• Verranto