Vektorikimppu

Vektorikimppu on matemaattinen konstruktio, jossa jonkin avaruuden, nk. pohja-avaruuden, pisteisiin liitetään vektoriavaruus. Näiden vektoriavaruuksien oletetaan liittyvän yhteen "jatkuvasti", ts. tarvitaan topologian käsitteistö.

Helpoin esimerkki vektorikimpusta on niin sanottu triviaali vektorikimppu. Olkoon $X$ topologinen avaruus ja $n$ mielivaltainen kokonaisluku. Tällöin voi jokaiseen $X$:n pisteeseen liittää "sama" vektoriavaruus $\mathbb {R} ^{n}$. Toisin sanoen saadaan aikaan avaruus $X\times \mathbb {R} ^{n}$. Yleisessä vektorikimpussa tosin vektoriavaruus voi kaareutua. Tästä esimerkkinä on Möbiuksen nauha, jossa pohja-avaruus on yksikköympyrä $S^{1}$, ja vektoriavaruus on reaalilukujen joukko $\mathbb {R}$, joka "käännetään ympäri".

Määritelmä

Olkoon $X,E$ topologisia avaruuksia, ja olkoon $\pi :E\to X$ jatkuva kuvaus. Tällöin pari $(E,\pi )$ on topologinen vektorikimppu, jos nämä toteuttavat seuraavat ominaisuudet .

• Lokaali triviaalisuus: On olemassa avoin peite $\{U_{i}\}$, joille $\pi ^{-1}(U_{i})\simeq U_{i}\times \mathbb {R} ^{n}$ ja $\pi ^{-1}(x)=\mathbb {R} ^{n}$ kaikille $x\in X$. Eli on olemassa homeomorfismi $\phi _{i}:\pi ^{-1}(U_{i})\to U_{i}\times \mathbb {R} ^{n}$.

• Yhteensopivuus: Translaatiokuvaukset $\psi _{ij}=\phi _{i}\circ \phi _{j}^{-1}:(U_{j}\cap U_{i})\times \mathbb {R} ^{n}\to (U_{j}\cap U_{i})\mathbb {R} ^{n}$ ovat homeomorfismeja ja lineaarisia $\mathbb {R} ^{n}$ koordinaatissa. Eli translaatiokuvaukset ovat säiekuvauksia (bundle map).

Avaruus $X$ on pohja-avaruus, ja $E$ on nk. totaaliavaruus. Kuvaus $\pi$ on projektio, ja on esimerkki topologisesta submersiosta. Kokonaisluku $n$ on vektorikimpun ulottuvuus.

Samalla lailla voidaan määritellä sileät vektorikimput, jos pohja- ja totaaliavaruus oletetaan sileiksi monistoiksi. Tällöin oletetaan, että kuvaukset yllä ovat kaikki sileitä. Yleisimmin geometriassa tarkastellaan juuri vektorikimppuja monistoilla.

Säiekuvaukset

Olkoot $(E,\pi _{E}),(F,\pi _{F})$ topologisia vektorikimppuja, joiden pohja-avaruudet ovat $X,Y$ja ulottuvuudet $n,m$, vastaavasti. Sanomme, että jatkuva kuvaus $f:E\to F$ on säiekuvaus, jos seuraavat kaksi ominaisuutta pätevät:

• Kommutointi: On olemassa kuvaus $g:X\to Y$, jolle $g\circ \pi _{E}=\pi _{F}\circ f$.

• Kuvaus on lineaarinen. Tässä kaikilla, $x\in X$, pätee, että $f:\pi _{E}^{-1}(x)\simeq \mathbb {R} ^{n}\to \pi _{F}^{-1}(g(x))\simeq \mathbb {R} ^{m}$.

Jos kyseessä on sileä vektorikimppu, niin samalla lailla määrittelemme sileät säiekuvaukset. Jos kuvaus $f$ on homeomorfismi, tai diffeomorfismi, niin sen käänteiskuvaus on myös säiekuvaus ja tällöin vektorikimput ovat isomorfisia.

Sektiot

Sektiot yleistävät vektorikenttiä. Vektorikentät liittävät moniston pisteisiin sen tangenttiavaruuden vektorin, joka euklidisen avaruuden $\mathbb {R} ^{n}$ tapauksessa voidaan samaistaa avaruuden $\mathbb {R} ^{n}$ kanssa. Yleisesti ottaen sektio $\sigma :X\to E$ on jatkuva kuvaus, joka liittää jokaiseen pisteeseen $x\in X$ vektorin, joka kuuluu joukkoon $\pi ^{-1}(x)$, eli

$\pi \circ \sigma ={\text{Id}},$

missä ${\text{Id}}$ on identiteettikuvaus. Edelleen voimme määritellä sileät sektiot. Esimerkkinä olkoot nolla-sektio, jossa $\sigma (x)=0\in \mathbb {R} ^{n}\simeq \pi ^{-1}(x)\subset E$.