Vedamatematiikka
Vedamatematiikka on kokoelma pikalaskemisen sääntöjä. Se perustuu 16 sutraan ja 13 upa-sūtraan eli seurauslauseeseen, joiden väitetään kattavan koko matematiikan. Ne esitti 1900-vuosisadan alussa hinduoppinut ja matemaatikko Jagadguru Swami Sri Bharati Krishna Tirthaji Maharaja.
16 Sūtraa ja upa-sūtrat
[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]Sūtrat eli kaavat
[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]Sūtrien nimien suomennokset on tehty englanninkielisistä nimistä.
- EKĀDHIKENA PŪRVEŅA (suom. Yhtä suuremmalla kuin edellinen)
- NIKHILAM NAVATAS’CARAMAM DASATAH (suom. "Kaikki muut yhdeksästä ja viimeinen kymmenestä")
- ŨRDHVA TIRYAGBHYĀM (suom. "Pystyyn ja ristiin")
- PARĀVARTYA – YOJAYET (suom. "Muunna ja sovella")
- SŨNYAM SĀMYASAMUCCAYE (suom. "Samuccaya on sama, siis Samuccaya on nolla.")
- ĀNURŨPYE ŚŨNYAMANYAT (suom. "Jos toinen on suoraan verrannollinen, toinen on nolla.")
- SAŃKALANA – VYAVAKALANĀBHYAM (suom. "Yhteenlaskulla ja vähennyksellä.")
- PŨRANĀPŨRAŅĀBHYĀM (suom. "Täydentämällä tai epätäydentämällä.")
- CALANA - KALANĀBHYĀM (suom. "Peräkkäinen liike")
- EKANYŨŅENA PŨRVENA (suom. "Yksi vähemmän kuin aikaisemmin")
- YĀVADŨNAM (suom. "Vajaus")
- VYAŞŢISAMAŞŢIH (suom. "Kokonaisuus yhtenä ja yksi kokonaisuutena")
- ŚEŞĀNYAŃ KENA CARAMEŅA (suom. "Jäännös viimeisellä")
- SOPĀNTYADVAYAMANTYAM (suom. "Viimeinen ja kaksinkertaisena viimeistä edellinen")
- GUŅITASAMUCCAYAH (suom. "Koko tulo on sama")
- GUŅAKA SAMUCCAYAH (suom. "Tekijöiden kerääminen")
Upa-sūtrat tai seurauslauseet
[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]Upa-sūtrat ovat seurauksia tai edistyneitä sovelluksia sūtrista.
- ĀNURŨPYENA (suom. "Verranto")
- S’ISYATE S’ESASAMJ ÑAH
- ĀDYAMĀDYENĀNTYA - MANTYENA (suom. "Ensimmäinen ensimmäisellä ja viimeinen viimeisellä")
- KEVALAIH SAPTAKAMGUNYAT
- VESTANAM
- YAVADŨNAM TAVADŨNAM
- YĀVADŨNAM TĀVADŨNĪKŖTYA VARGAÑCA YOJAYET (suom. "Vähennä vajaus luvusta ja kirjoita sen viereen vajauksen neliö")
- ANTYAYOR DAŚAKE′PI (suom. "Viimeiset yhteensä kymmenen")
- ANTYAYOREVA (suom. "Vain viimeiset termit")
- SAMUCCAYAGUNITAH
- LOPANASTHĀPANĀBHYĀM (suom. "Poista muunnoksella ja säilytä")
- VILOKANAM (suom. "Havainnointi")
- GUNÌTA SAMUCCAYAH - SAMUCCAYA GUŅÌTAH (suom. "Kertoimien summien tulo on summan kertoimien summa")
Esimerkkejä sūtrien soveltamisesta ja niiden algebrallisia todistuksia
[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]Sūtrat ja upa-sūtrat ovat oleellisesti muistisääntöjä ja laskuteknisiä ohjeita, joiden tarkoitus on helpottaa ja nopeuttaa käytännön laskemista. Siksi ne ymmärtää parhaiten esimerkkien avulla.
Yhtä suuremmalla kuin edellinen
[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]Sūtra EKĀDHIKENA PŪRVEŅA eli suomeksi "Yhtä suuremmalla kuin edellinen" on jako- ja kertolaskuun liittyvä laskutekninen ohje. Sillä on kaksi sovellusta.
Kertolasku: Numeroon 5 päättyvien lukujen neliöt
[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]Lasketaan 25².
Luku on 25. Viimeinen numero on siis 5 ja edellinen on 2. Nyt "Yhtä suuremmalla kuin edellinen" tarkoittaa lukua 2+1=3. Nyt kerrotaan "edellinen" numero (2) "yhtä suuremmalla" (3). Näin saadaan tulon vasen puoli: 2 * 3 = 6. Tulon oikea puoli on 5² = 25.
Siis 25² = 2 X 3 / 25 = 625. (Merkki "/" ei tässä ole jakomerkki; se vain erottaa vasemman ja oikean puolen.)
Samoin,
35²= 3 X (3+1) /25 = 3 X 4/ 25 = 1225;
105²= 10 X 11/25 = 11025;
Todistus
[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]Käytetään kaavaa (ax + b)² = a²x² + 2abx + b².
Sijoitetaan kaavaan x = 10 ja b = 5. Tällöin
- (10a + 5)² = 10²a² + 2* 10a * 5 + 5²
- = 10²a² + 10²a + 5²
- = 10²(a²+ a ) + 5²
- = 100a (a + 1) + 25.
Nyt tulon vasen puoli on a(a + 1) ja oikea puoli 25. M.O.T.
Jakolasku: Yhdeksään päättyvien lukujen yksikkömurrot
[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]"Yhtä suuremmalla kuin edellinen" -sutran avulla voidaan laskea helposti muotoa 1/a9, missä a on luonnollinen luku, olevien murtolukujen desimaalikehitelmät. Tämä voidaan tehdä sekä jakamalla että kertomalla. Tässä esitellään jakolasku [1].
Esimerkissämme nimittäjä on 19, joten on purva ("edellinen") 1 ja yhtä suurempi on 1+1=2.
Sovelletaan sutraa tässä kontekstissa. Sovitaan lisäksi merkinnästä a;b, jossa a tarkoittaa osamäärää ja b jakojäännöstä.
Askel 1: Jaa 1 luvulla 20, eli 1:20 = 0;1. Saadaan 0.10.
Askel 2: 10:2=5;0. Saadaan 0,005.
Askel 3: 5:2 = 2;1. Saadaan 0,0512.
Askel 4: 12:2 = 6;0. Saadaan 0,05206.
Askel 5: 6:2 = 3;0. Saadaan 0,052603.
Askel 6: 3:2 = 1;1. Saadaan 0,0526311.
Askel 7: 11:2 = 5;1. Saadaan 0,05263115.
Askel 8: 15:2 = 7;1. Saadaan 0,052631517.
Askel 9: 17:2 = 8;1. Saadaan 0,0526315718.
Askel 10: 18:2 = 9;0. Saadaan 0,05263157809.
Askel 11: 9:2 = 4;1. Saadaan 0,052631578914.
Askel 12: 14:2 = 7;0. Saadaan 0,0526315789407.
Askel 13: 7:2 = 3;1. Saadaan 0,05263157894713.
Askel 14: 13:2 = 6;1. Saadaan 0,052631578947316.
Askel 15: 16:2 = 8;0. Saadaan 0,0526315789473608.
Askel 16: 8:2 = 4;0. Saadaan 0,05263157894736804.
Askel 17: 4:2 = 2;0. Saadaan 0,052631578947368402.
Askel 18: 2:2 = 1;0. Saadaan 0,0526315789473684201.
Algoritmin suoritus voidaan keskeyttää tähän, koska seuraavaksi suoritetaan 1:2, jolloin ollaan taas askeleessa 1. Vastaus on siis
.
Huomataan myös, että vastaus voidaan lukea helposti askelien osamääristä: 0,5,2,6, jne.
Tämä artikkeli tai osio on keskeneräinen. Voit auttaa Wikipediaa laajentamalla sivua. Lisää tietoa saattaa olla keskustelusivulla. |
Lähteet
[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]- ↑ Laskutavat esitellään P. Satyanarayana Sarman teoksen Vedic Mathematics – Methods verkkoversiossa sivulla http://www.vedamu.org/Mathematics/MathematicalFormulae/Sutras/sutras.asp (Arkistoitu – Internet Archive) otsikko ii) Vulgar fractions whose denominators are numbers ending in NINE
Aiheesta muualla
[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]- Sri Sathya Sai Veda Pratishtan (Arkistoitu – Internet Archive)