Varisto (matematiikka)

Klassisessa algebrallisessa geometriassa (ja myös jossain määrin modernissa algebrallisessa geometriassa), tutkimuksen pääkohteena ovat algebralliset varistot. Affiini algebrallinen varisto määritellään jaottomaksi algebralliseksi joukoksi kunnassa $K$. Algebrallinen joukko $K^{n}$:ssä määritellään polynomien kokoelman nollakohtien joukoksi, missä polynomin kertoimet ovat algebrallisesti suljetussa kunnassa $K$. Sitä kutsutaan jaottomaksi, jos häviävien polynomien ideaali on pääideaali. Polynomirenkaan tekijärengas on affiinin algebrallisen variston koordinaatistorengas. Se on kokonaisalue koska se on alkuideaalin tekijärengas. Projektiivinen algebrallinen varisto on affiinin variston sulkeuma projektiivisessa avaruudessa. Näillä määritelmillä pääsee jo hyvään alkuun algebrallisen geometrian opettelussa.

Jatkaakseen pidemmälle, tarkemmin sanoen ajattelemalla varistoja ei-algebrallisesti suljettujen kuntien yli, tarvitaan joitakin muutoksia määritelmään. Nykyinen variston käsite on huomattavasti abstraktimpi kuin yllä oleva, vaikka määritelmät yhtyvätkin algebrallisesti suljetuissa kunnissa. Abstrakti algebrallinen varisto on erityisesti skeema. Skeema on lokaalisti rengasmainen avaruus siten, että skeeman kullakin pisteellä on ympäristö, joka on isomorfinen renkaan spektrin kanssa. Siten varisto on skeema, jonka rakenteellinen lyhde on K-algebrojen lyhde, jossa jokainen rengas R on äärellisesti viritetty K-algebra, ts. polynomialgebrojen tekijäalgebra pääideaalin suhteen.

Määritelmä toimii kaikissa kunnissa K. Se mahdollistaa affiinien varistojen liimaamisen ilman, että tarvitsee huolehtia siitä, voidaanko saatu struktuuri upottaa johonkin projektiiviseen avaruuteen. On olemassa joitakin mielenkiintoisia variston osaluokkia. Projektiivinen varisto on varisto, joka on upotettu projektiiviseen avaruuteen. Täydellinen varisto on varisto siten, että jokainen kuvaus avoimelta osajoukolta epäsingulaariseksi käyräksi voidaan yksikäsitteisesti jatkaa koko käyräksi. Jokainen projektiivinen varisto on täydellinen, mutta ei päinvastoin.

Näitä varistoja kutsutaan 'Serren varistoiksi', koska Serren paperi FAC lyhdekohohomologiassa oli kirjoitettu näitä varistoja varten. Ne ovat tyypillisiä objekteja, joista aloittaa algebrallisen geometrian tutkiminen, vaikkakin yleisempiäkin objekteja on käytetty algebrallisen geometrian perusteissa.

Yksi tapa yleistää on sallia algebrallisten joukkojen olevan jaollisia joukkoja (jolloin kunta K ei ole algebrallisesti suljettu), jolloin renkaat R eivät ole välttämättä kokonaisalueita. Tämä ei ole teknisesti suuri askel. Paljon tärkeämpää on sallia nilpotentit renkaat lyhteissä. Nilpotentin täytyy olla 0. Jos nämä sallitaan, niin koordinaatistorenkaita ei voida ajatella koordinaatistofunktioiksi.

Kategoriateorian mielessä nilpotentit täytyy sallia, sillä tällöin varistoille saadaan äärelliset raja-arvot. Geometrisesti tämä tarkoittaa sitä, että hyvien kuvausten säikeissä täytyy olla infinitesimaalinen struktuuri.

Katso myös

• funktiokunta
• algebrallisen variston dimensio
• algebrallisen variston singulaariset pisteet
• birationaalinen geometria
• Fanon varisto

Lähteet

• David Cox, John Little, Donal O'Shea, Ideals, Varieties and Algorithms, An Introduction to Computational Algebraic Geometry and Commutative Algebra, (1997), Springer-Verlag ISBN 0-387-94680-2.