Vaellusnopeus

Vaellusnopeus on keskimääräinen nopeus, jolla hiukkanen (yleensä elektroni) liikkuu sähkökentän vaikutuksesta sähkövirrassa.

Vaellusnopeus voidaan laskea seuraavasta kaavasta:

$v_{d}={\frac {I}{nqA}}$

jossa

I on sähkövirta

n on kohdan läpi siirtyneiden varattujen hiukkasten (esim. elektronien) määrä tilavuusyksikköä kohti

A on kohdan poikkipinta-ala

q on yksittäisen hiukkasen (esim. elektronin) varaus

Johtaminen

Aloitamme sähkövirran määrittelevästä kaavasta:

$I={\frac {\Delta Q}{\Delta t}}$

jossa

ΔQ on kohdan läpi kulkeva varaus tietyssä ajassa (Δt).

Varaus ΔQ voidaan esittää hiukkasten lukumäärän ja yksittäisen hiukkasen varauksen tulona. Hiukkasten lukumäärä saadaan kertomalla elektronitiheys (n) tarkasteltavan johtimen tilavuudella (V). Edelleen johtimen tilavuus (V) on sama kuin sen poikkipinta-alan (A) ja pituuden (Δx) tulo. Johtimen pituus eli hiukkasten kulkema matka taas voidaan ilmoittaa niiden nopeuden ja ajan avulla:

$\Delta Q=\left(nV\right)q=\left(nA\Delta x\right)q=\left(nAv_{d}\Delta t\right)q$

Sijoitetaan tämä alkuperäiseen sähkövirran kaavaan ja ratkaistaan nopeus:

$v_{d}={\frac {I}{nqA}}$

Esimerkki

Tavallisimmin sähkönjohtimet tehdään kuparilangasta. Koska kuparin tiheys on 8,94 g/cm³ = 8940 kg/m³ ja atomipaino on 63,546 g/mol, kuutiosenttimetrissä kuparia on 8,94 / 63,546 = 0,1406855 moolia. Koska yhdessä moolissa kuparia on 6,022·10²³ atomia (Avogadron vakio), on kuutiosenttimetrissä kuparia 6,022×10²³ × 0,1406855 = 8,5·10²² ja kuutiometrissä 8,5·10²⁸ atomia. Koska kuparissa on yksi johtavuuselektroni atomia kohti, on kuparin elektronitiheys n = 8,5·10²⁸/m³ eli kuparissa on 8,5·10²⁸ johtavuuselektronia kuutiometriä kohti.

Alla olevaan taulukkoon on laskettu eri metallien elektronitiheyksiä.

Oletetaan, että kuparijohtimessa kulkee kolmen ampeerin virta ja että poikkileikkaukseltaan ympyrän muotoisen johtimen paksuus on 1 mm, jolloin ympyrän säteeksi saadaan 0,0005 m. Silloin sen poikkipinta-ala on 7,85·10⁻⁷ m². Elektronin varaus on -1,602·10^-19 C. Niiden vaellusnopeus voidaan siis laskea seuraavasti:

$v={I \over nAq}$

$v={3A \over {\big (}{{8,5\times 10^{28}{1 \over m^{3}}}{\big )}\times {\big (}{7,85\times 10^{-7}m^{2}}{\big )}\times {\big (}{-1,6\times 10^{-19}C}{\big )}}}$

$v={-0,00028}{\text{ m/s}}\,\!$

Niinpä elektronien vaellusnopeus tässä johtimessa on noin 0,00029 m/s tai suunnilleen yksi metri tunnissa.

Vertailun vuoksi voidaan todeta, että huoneenlämmössä elektronien Fermi-nopeus, jota voidaan pitää niiden keskimääräisenä nopeutena satunnaiseen suuntaan, kun sähkövirtaa ei ole, on noin 1570 km/s

Jos johtimessa kulkee vaihtovirta, elektronin vaellusnopeuden suunta muuttuu joka kerta kun virran suuntakin vaihtuu. Jos yllä olevassa esimerkissä onkin kyseessä vaihtovirta, jonka taajuus on 50 Hz, myös vaellusnopeus ajan funktiona on sinikäyrän muotoinen, ja elektornit liikkuvat edestakaisin alkuperäisen paikkansa molemmin puolin amplitudilla:

$A=(1/2F)(2{\sqrt {2}}/\pi )|v|=2,6\times 10^{-6}{\text{m}}$

Yhden johtavuuselektronin luovuttavien metallien vapaaelektronitiheydet

Aine	Tiheys (g cm-3)	Moolimassa (g mol-1)	Johtavuuselektronitiheys (m-3)
Rauta	7.874	55.845	8.491*1028
Kupari	8.940	63.546	8.472*1028
Alumiini	2.700	26.981	6.026*1028
Kulta	19.300	196.967	5.901*1028
Hopea	10.490	107.868	5.856*1028

Katso myös

• Konduktiivisuus
• Elektromigraatio