Tetraedrinen symmetria

Säännöllinen tetraedri on yksinkertaisin esimerkki kappaleesta, jolla on täysi tetraedrinen symmetria.

Tetraedrinen symmetria on sellaisen kolmiulotteisen kappaleen symmetria, joka säännöllisen tetraedrin tavoin voidaan kuvata itselleen isometrisesti 24 tavalla, joista 12 on orientaation säilyttäviä.

Tetraedrisesti symmetrisen kappaleen symmetriaoperaatioiden ryhmä on S₄, sama kuin neljän alkion permutaatioryhmä, sillä jokaista tetraedrin kärkipisteiden permutaatiota vastaa yksi tetraedrin isometrinen eli yhtenevyyskuvaus itselleen. Tetraedrin orientaation säilyttävien symmetriaoperaatioiden ryhmä on sen alternoiva aliryhmä A₄.

Ominaisuuksia

Kiraalinen ja täysi (eli akiraalinen symmetria) sekä pyritoedrinen symmetria ovat diskreetin pistejoukon mahdollisia symmetrioita ja samalla myös eräitä pallopinnan symmetrioita. Ne kuuluvat myös kuutiollisen kidejärjestelmän kristallografisiin pisteryhmiin.

Pyörähdysakselit

C3	C3	C2
2	2	3

Stereografisessa projektiossa tetrakis-heksaedrin särmät muodostavat tasopinnalle kuusi ympyrää (tai jonkin keskipisteen kautta säteittäisesti kulkevia suoria). Jokainen näistä kuudesta ympyrästä vastaa jotakin tetraedrisesti symmetrisen kappaleen symmetria-akselia. Näiden ympyrät leikkaavat toisensa kertaluvun 2 tai 3 pyörähdyspisteissä.

Ortogonaalinen	Stereografiset projektiot
	4-kertainen	3-kertainen	2-kertainen
Kiraalinen tetraedrinen symmetria, T, (332), [3,3]+ = [1+,4,3+], =
Pyritoedrinen symmetria, Th, (3*2), [4,3+],
Akiraalinen tetraedrinen symmetria, Td, (*332), [3,3] = [1+4,3], =

Kiraalinen tetraedrinen symmetria

Tetraedrinen rotaatioryhmä T ja sen perusalue; triakis-tetraedristä kerrotaan jäljempänä, jälkimmäinen on yksi täysi sivu.

Tetraedri voidaan pelkkien rotaatioiden avulla asettaa 12 eri asentoon. Näitä havainnollistaa yllä oleva syklinen graafi, jossa siniset nuolet tarkoittavat 180°:n kiertoja särmien ympäri ja punaiset nuolet 120°:n kiertoja kärkien ympäri. Nämä rotaatiot vastaavat tetraedrien kärkien permutaatioita.

Tetrakis-heksaedrissa yksi tahko on perusalue. Muut kappaleet, joilla on sama symmetria, saadaan muuntamalla tahkojen suuntausta, esimerkiksi yhdistämällä joitakin tahkoja sopivalla tavalla yhdeksi tahkoksi tai korvaamalla jokainen alkuperäinen tahko useammalla tahkolla tai kaarevalla pinnalla.

Kiraaliselle eli rotationaaliselle' tetraedriselle symmetrialle käytetään merkintöjä T, 332, [3,3]⁺, tai 23. Sen kertaluku on 12. Siinä on samat kolme toisiinsa nähden kohtisuoraa kaksinkertaista rotaatioakselia samoin kuin kiraalisessa diedrisessä symmetriassa D₂ or 222 sekä lisäksi neljä kolminkertaista akselia, jotka ovat keskittyneet näiden kohtisuorien akseleiden väliin. Kiraalisen tetraedrisen symmetrian symmetriaryhmä on isomorfinen neljän alkion alternoivan ryhmän A₄ kanssa. Itse asiassa se on sama kuin neljän kolminkertaisen akselin parillisten permutaatioiden ryhmä: e, (123), (132), (124), (142), (134), (143), (234), (243), (12)(34), (13)(24), (14)(23).

T:n konjugaatioluokat ovat:

• identtinen kuvaus
• 4 kpl 120°:n rotaatioita myötäpäivään (kärjestä katsottuna): (234), (143), (412), (321)
• 4 kpl 120°:n rotaatioita vastapäivään
• 3 kpl 180°:n rotaatioita.

Nämä 180°:n rotaatiot yhdessä identtisen kuvauksen kanssa muodostavat tyyppiä Dih₂ olevan normaalin aliryhmän jota vastaava tekijäryhmä on tyyppiä Z₃. Viimeksi mainitun kolme alkiota ovat identtinen kuvaus sekä rotaatiot myötäpäivään ja vastapäivään, jotka vastaavat kolmen kohtisuoran kaksinkertaisen akselin sellaisia permutaatioita, joissa orientaatio säilyy.

A₄ on pienin ryhmä, joka osoittaa, että Lagrangen lauseen käänteislause ei aina päde: jos on annettu äärellinen ryhmä G ja |G|:n jakaja d, G:llä ei välttämättä ole sellaista aliryhmää, jonka kertaluku on d: ryhmällä G = A₄ ei ole aliryhmää kertaluvulla 6. Vaikka tämä on abstraktin ryhmän yleinen ominaisuus, kiraalisen tetraedrin symmetrian isometriaryhmän tapauksesessa asia on selvä: kiraalisuutensa vuoksi aliryhmän olisi oltava joko C₆ tai D₃, mutta kumpikaan ei käy.

Kiraalisen tetraedrisen symmetrian aliryhmät

Kiraalisen tetraedrisen symmetrian aliryhmät

Schoenflies	Coxeter		Orb.	H-M	Generaattorit	Rakenne	Sykl.	Kertaluku	Indeksi
T	[3,3]+	=	332	23	2	A4		12	1
D2	[2,2]+	=	222	222	3	Dih2		4	3
C3	[3]+		33	3	1	Z3		3	4
C2	[2]+		22	2	1	Z2		2	6
C1	[ ]+		11	1	1	Z1		1	12

Akiraalinen tetraedrinen symmetria

Täysi tetraedrinen ryhmä T_d perusalueineen

Akiraaliselle eli täydelle' tetraedriselle symmetrialle käytetään merkintöjä T_d, *332, [3,3], tai 24. Sen kertaluku on 24. Siinä on samat kolme toisiinsa nähden kohtisuoraa kaksinkertaista rotaatioakselia samoin kuin kiraalisessa symmetriassa T, sekä lisäksi kuusi symmetriatasoa, joista jokaiseen sisältyy kaksi kolminkertaista symmetria-akselia. Kaksinkertaiset symmetria-akselit ovat nyt S₄- eli (4)-axes. Abstraktina ryhmänä T_d on isomorfinen O:n kanssa: molemmat vastaavat neljän alkion symmetriaryhmää S₄. T_d on T:n ja sen joukon unioni, joka saadaan yhdistämällä O \ T:n jokaiseen alkioon inversio.

T_d:n konjugaatioluokat ovat:

• identtinen kuvaus
• 8 kpl 120°:n rotaatioita (C₃)
• 3 kpl 180°:n rotaatioita (C₂)
• 6 kpl peilauksia kahden rotaatioakselin kautta kulkevien tasojen suhteen (C_s)
• 6 kpl peilauksen ja 90°:n rotaation yhdistettyjä kuvauksia (S₄).

Akiraalisen tetraedrisen symmetrian aliryhmät

Akiraalisen tetraedrisen symmetrian aliryhmät

Schoenflies	Coxeter		Orb.	H-M	Generaattorit	Rakenne	Sykl.	Kertaluku	Indeksi
Td	[3,3]		*332	43m	3	S4		24	1
C3v	[3]		*33	3m	2	Dih3=S3		6	4
C2v	[2]		*22	mm2	2	Dih2		4	6
Cs	[ ]		*	2 or m	1	Z2 = Dih1		2	12
D2d	[2+,4]		2*2	42m	2	Dih4		8	3
S4	[2+,4+]		2×	4	1	Z4		4	6
T	[3,3]+		332	23	2	A4		12	2
D2	[2,2]+		222	222	2	Dih2		4	6
C3	[3]+		33	3	1	Z3 = A3		3	8
C2	[2]+		22	2	1	Z2		2	12
C1	[ ]+		11	1	1	Z1		1	24

Pyritoedrinen symmetria

Pyritoedrinen ryhmä T_h ja sen perusalue

Lentopallon saumojen muodostamalla kuviolla on pyritoedrinen symmetria.

Pyritoedrisen symmetrian T_h, 3*2, [4,3⁺] tai m3 kertaluku on 24. Tällä ryhmällä on samat rotaatioakselit kuin T:llä sekä symmetriatasot kohtisuorista suunnista kahden läpi. Kolminkertaiset akselit ovat nyt diedrisen symmetrian S₆ (3)-akselit, ja niillä on keskeinen inversiosymmetria. T_h on isomofrinen T × Z₂:n kanssa: jokainen T_h:n alkio on joko T:n alkio tai jokin niistä yhdistettynä inversion kanssa. Näiden kahden normaalin aliryhmän lisäksi on myös normaali aliryhmä D_2h, joka on samalla suorakulmaisen särmiön symmetriaryhmä, tyyppiä Dih₂ × Z₂ = Z₂ × Z₂ × Z₂. Se on edellä mainitun normaalin aliryhmän T ja pisteen suhteen suoritetun peilauksen C_i suora tulo. Tekijäryhmä on sama kuin edellä: tyyppiä Z₃. Viimeksi mainitun kolme alkiota ovat identtinen kuvaus sekä rotaatiot myötäpäivään ja vastapäivään, mitkä vastaavat kahden kohtisuoran kaksinkertaisen akselin orientaation säilyttäviä permutaatioita.

Pyritoedrinen symmetria on sellaisen kuution symmetria, jonka jokaiselle tahkolle on piirretty jana, joka jakaa sen kahteen suorakulmioon siten, että toisiaan koskettavilla tahkoilla näillä janoilla ei ole yhteisiä päätepisteitä kuution särmillä. Nämä symmetriat vastaavat kappaleen avaruuslävistäjien parillisia permutaatioita sekä kuvauksia, jotka muodostetaan yhdistämällä nämä ja inversio. Samalla se on pyritoedrin symmetria, toisin sanoen kappaleen, joka muistuttaa edellä mainittua kuutiota, mutta jossa jokainen suorakulmio on korvattu viisikulmiolla, jossa on yksi symmetria-akseli, neljä yhtä pitkää sivua ja yksi eripituinen sivu (joka vastaa kuution tahkot kahtia jakavia janoja); toisin sanoen kuution tahkot kapenevat näiden jakolinjojen lähellä. Tämä on säyden ikosaedrisen symmetrian aliryhmä myös isometrisena, ei vain abstraktina ryhmänä, ja siinä on mukan neljä ikosaedrisen symmetrian 10 kolminkertaisesta akselista.

T_h:n konjugaattiluokkiin kuuluvat T:n konjugaattiluokat ja niiden inversiot, seuraavat 24 kuvausta:

• identtinen kuvaus
• 8 kpl 120°:n rotaatioita (C₃)
• 3 kpl 180°:n rotaatioita (C₂)
• inversio (S₂)
• 8 kpl 60°:n rotaation ja peilauksen yhdistettyjä kuvauksia eli rotoreflektioita (S₆)
• 3 kpl peilauksia tasojen suhteen (C_s)

Pyritoedrisen symmetrian aliryhmät

Pyritoedriset aliryhmät

Schoenflies	Coxeter		Orb.	H-M	Generaattorit	Rakenne	Sykl.	Kertaluku	Indeksi
Th	[3+,4]		3*2	m3	2	A4×2		24	1
D2h	[2,2]		*222	mmm	3	Dih2×Dih1		8	3
C2v	[2]		*22	mm2	2	Dih2		4	6
Cs	[ ]		*	2 or m	1	Dih1		2	12
C2h	[2+,2]		2*	2/m	2	Z2×Dih1		4	6
S2	[2+,2+]		×	1	1	2 or Z2		2	12
T	[3,3]+		332	23	2	A4		12	2
D3	[2,3]+		322	3	2	Dih3		6	4
D2	[2,2]+		222	222	3	Dih4		4	6
C3	[3]+		33	3	1	Z3		3	8
C2	[2]+		22	2	1	Z2		2	12
C1	[ ]+		11	1	1	Z1		1	24

Kappaleita, joilla on kiraalinen tetraedrinen symmetria

Oheisen kuvan väritys esittää, miten ikosaedri voidaan käsittää pullistetuksi tetraedriksi. Näin väritettynä kappaleella on kiraalinen symmetria.

Kappaleita, joilla on täysi tetraedrinen symmetria

Luokka	Nimi	Kuva	Tahkoja	Särmiä	Kärkiä
Platonin kappale	tetraedri		4	6	4
Arkhimedeen kappale	typistetty tetraedri		8	18	12
Catalanin kappale	triakis-tetraedri		12	18	8
Near-miss Johnsonin kappale	Typistetty triakis-tetraedri		16	42	28
	Tetratoitu dodekaedri		28	54	28
Uniforminen tähtimonitahokas	Tetrahemiheksaedri		7	12	6

Katso myös

• Oktaedrinen symmetria
• Ikosaedrinen symmetria

Lähteet

• Peter R. Cromwell: Polyhedra, s. 295. Määritä julkaisija!
• John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass: The Symmetry of Things. Määritä julkaisija! ISBN 978-1-56881-220-5
• F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. THompson, Asia Ivic Weiss (toim.): Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Cozeter. Wiley-Interscience Publication, 1995. ISBN 978-0-471-01003-6 Teoksen verkkoversio.
• N. W. Johnson: ”Chapter 11.5: Finite symmetry groups, Spherical Coxeter groups”, Geometries and Transformations. Määritä julkaisija! ISBN 978-1-107-10340-5

Aiheesta muualla

• Tetrahedral Group Wolfram MathWorld. Erik W. Weisstein. Viitattu 2.8.2019.