Ekvipotentiaali

Wikipediasta
(Ohjattu sivulta Tasa-arvopinta)
Siirry navigaatioon Siirry hakuun
Ekvipotentiaaleja kahta vastakkaismerkkistä varausta ympäröivässä sähkökentässä.
Ekvipotentiaalikäyrät (punaiset) ja kenttäviivat (mustat) kahden samanmerkkisen pistemäisen varauksen ympärillä

Ekvipotentiaali eli isopotentiaali on matematiikassa ja fysiikassa avaruuden alue, jonka jokaisessa pisteessä jonkin vektori­kentän potentiaalilla on sama arvo.[1][2] Tavallisimmin kyseessä on tällöin skalaaripotentiaali, mutta käsitettä voidaan soveltaa myös vektoripotentiaaleihin.[3] Vektori­kentän skalaari­potentiaali on reaali­arvoinen funktio, jonka gradientin arvot avaruuden eri pisteissä muodostavat kyseisen vektori­kentän. Yleensä n-ulotteisessa avaruudessa skalaari­potentiaali­funktion ekvi­potentiaali on n-1 -ulotteinen. Jos kenttä kuitenkin on jollakin avaruuden n-ulotteisella alueella nolla, käsittää ekvi­potentiaali koko tämän alueen.

Ekvipotentiaalipinta

[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Kolmi­ulotteisessa avaruudessa määritellyn skalaari­potentiaalin ekvi­potentiaalit ovat normaalisti pintoja, ja niitä sanotaan usein ekvipotentiaali­pinnoiksi[4] nivoo­pinnoiksi[5][6] vaki­­opotentiaali­pinnoiksi.[7] tai suomeksi myös tasa-arvopinnoiksi.[8] Ekvipotentiaali saattaa kuitenkin olla myös kolmi­ulotteinen avaruuden alue, mikäli kentän arvo kyseisellä alueella on kaikkialla nolla.

Kun ekvipotentiaali on pinta, skalaari­potentiaalin gradientti on kaikkialla kohti­suorassa tätä pintaa vastaan. [4][8] Kentän kenttäviivat ovat gradientin suuntaisia ja näin ollen ne leikkaavat ekvi­potentiaali­pinnat kaikkialla kohti­suorasti.[8] Jos taas ekvi­potentiaali käsittää kokonaisen avaruuden alueen, on skalaari­potentiaali tällä alueella vakio, ja sen gradientti on koko alueella nolla.

Fysikaalisia esimerkkejä

[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Fysiikassa ekvi­potentiaalin käsitettä käytetään varsinkin sähkö­kentän yhteydessä, mutta sitä voidaan soveltaa muihinkin konservatiivisiin kenttiin,[9] esimerkiksi gravitaatiokenttään.[10] Tällaisissa kentissä työ, joka tehdään hiukkasen siirtyessä pisteessä toiseen, riippuu vain alku- ja loppupisteestä, ei kuljetusta tiestä.[11] Kentässä liikkuvan kappaleen tai hiukkasen potentiaalienergia pysyy vakiona, jos se pysyy samalla ekvi­potentiaali­pinnalla, eikä pelkästään tällä pinnalla liikuttaessa tehdä työtä.

Sähkökentän ekvipotentiaalipinnat

[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Sähkökentän potentiaali on skalaarikenttä, joka määritellään siten, että sen gradientti kentän jokaisessa pisteessä on suuruudeltaan ja suunnaltaan sama kuin sähkökentän voimakkuus.[12] Kentän kahden pisteen välinen jännite on sama kuin näiden pisteiden potentiaalien erotus. Sähkökentän ekvi­potentiaali­pinnat ovat siis pintoja, joiden pisteiden välinen jännite on nolla. Jos tarkastellaan vain kentän kaksi­ulotteista poikki­leikkausta, ekvipotentiaalit ovat käyriä, ja niitä voidaan verrata topografikarttaan merkittyihin korkeus­käyriin.[8]

Pistemäistä varausta ympäröivän sähkökentän ekvipotentiaali­pinnat ovat samankeskisiä pallopintoja. Jos varaus on tasaisesti jakautunut ohueen sauvaan, sitä ympäröivän kentään kenttä­viivat ovat muodoltaan hyperbelejä ja ekvi­potentiaali­pinnat pyörähdys­ellipsoideja, ja molempien poltto­pisteet ovat sauvan päätepisteissä. Kaukana varauksesta ekvi­potentiaali­pinnat lähestyvät muodoltaan pallo­pintaa, mikäli muita varauksia ei ole läsnä.[7]

Gravitaatiokentän ekvipotentiaalipinnat

[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Gravitaatiokentässä ekvi­potentiaali­pinnan muodostavat ne pisteet, joissa saman kappaleen potentiaalienergia on yhtä suuri. Tällaiset pinnat ovat kaikkialla kohti­suorassa paino­voiman suuntaa vastaan. Maan paino­voima­kentän ekvi­potentiaali­pinnat ovat muodoltaan lähellä palloa, mutta riittävän pieni osa tällaista pintaa on likipitäen taso, joka määrittelee vaakasuoran suunnan kyseisellä alueella. Vaaka­suoralle tasolle asetettu pallo ei lähde vierimään tasoa pitkin, koska kyseessä on ekvipotentiaalipinta. Erään tärkeän ekvi­potentiaali­pinnan Maan paino­voima­kentässä muodostaa geoidi eli meren pinnan taso ja sen ajatellut jatkeet mantereiden alla.

Kaksois­tähden ympärillä pienin ekvi­potentiaali­pinta, jonka sisään molemmat tähdet jäävät, on kahdeksikon muotoinen Rochen raja. Jos jompi­kumpi tähdistä laajenee siinä määrin, että se ulottuu Rochen rajan ulkopuolelle, siitä vuotaa ainetta myös parin toiseen tähteen.[13]

Ekvipotentiaalinen avaruuden alue

[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Esimerkin tapauksesta, jossa potentiaali on vakio kokonaisella kolmi­ulotteisella avaruuden alueella, muodostaa ontto pallo ja sen gravitaatio­kenttä. Tällaisen pallon sisäpuolella sen aiheuttama gravitaatio­kenttä on nimittäin kaikkialla nolla, joten sen potentiaali on vakio. Staattisessa sähkö­kentässä jokainen johdekappale muodostaa kolmiulotteisen ekvipotentiaalialueen, koska sen sisällä kentän arvo on kaikkialla nolla. Jos johde­kappale on ontto, kyseessä on Faradayn häkki, jolloin myös sen sisään jäävä alue kuuluu samaan ekvi­potentiaali­alueeseen.

Lähteet

[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]
  1. ↑ Equipotential Curve Wolfram MathWorld. Wolfram Research. Viitattu 9.10.2015.
  2. ↑ Equipotential Lines HyperPhysics. Georgia State University. Viitattu 9.10.2015.
  3. ↑ Herman A. Haus, James R. Melcher: ”The Vector Potential and the Vector Poisson Equation”, Electromagnetic Energy. Massachusetts Institute of Technology, 1998. Teoksen verkkoversio.
  4. ↑ a b Leena Lahti: ”Ekvipotentiaalipinnat”, Sähköoppi, s. 26. Gaudeamus, 1977. ISBN 951-662-044-2
  5. ↑ K. V. Laurikainen, Uuno Nurmi, Rolf Qvickström, Erkki Rosenberg, Matti Tiilikainen: ”Jännite ja potentiaali”, Lukion fysiikka 2, s. 32. WSOY, 1974. ISBN 951-0-05657-X
  6. ↑ Pieni tietosanakirja, 3. osa (Masku–Sanomalehti), s. 387. Otava, 1927. Teoksen verkkoversio.
  7. ↑ a b Ismo V. Lindell, Ari Sihvola: Sähkömagneettinen kenttäteoria 1: Staattiset kentät, s. 51. Otatieto, 2007. ISBN 978-951-672-354-2
  8. ↑ a b c d Kaarle ja Riitta Kurki-Suonio: ”Skalaariset esitykset”, Vuorovaikutuksista kenttiin: Sähkömagnetismin perusteet, s. 79–80. Limes ry, 1989. ISBN 951-745-121-0
  9. ↑ Daniel L. Lapedes: ”Equipotential surface”, Dictionary of Physics and Mathematics, s. 329. McGraw & Hill, 1978.
  10. ↑ Tapio Salmi, Simo Virtanen: ”Voimakentän potentiaalienergia”, Dynamiikka, s. 216. Pressus, 2006. ISBN 952-9835-63-9
  11. ↑ Pieni tietosanakirja, 3. osa (Masku–Sanomalehti), s. 917. Otava, 1927. Teoksen verkkoversio.
  12. ↑ Kaarle ja Riitta Kurki-Suonio: ”Yleinen vektoriesitys”, Vuorovaikutuksista kenttiin: Sähkömagnetismin perusteet, s. 81–85. Limes ry, 1989. ISBN 951-745-121-0
  13. ↑ Hannu Karttunen, Pekka Kröger, Heikki Oja, Markku Poutanen: ”Lähekkäisten kaksoistähtien kehitys”, Tähtitieteen perusteet, s. 311. Tähtitieteellinen yhdistys Ursa, Valtion painatuskeskus, 1984. ISBN 951-859-367-1

Kirjallisuutta

[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]
  • Voipio, Erkki: Sähkö- ja magneettikentät. (Moniste 381) Espoo: Otakustantamo, 1987. ISBN 951-672-038-2
Noudettu kohteesta ”https://fi.wikipedia.org/w/index.php?title=Ekvipotentiaali&oldid=22773579”