Täydellinen luku
Täydellinen luku on luonnollinen luku, joka on itseään pienempien tekijöidensä summa. Viisi ensimmäistä täydellistä lukua ovat 6, 28, 496, 8 128 ja 33 550 336.[1] Esimerkiksi 1 + 2 + 3 = 6 ja 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28. Positiiviset kokonaisluvut, jotka eivät ole täydellisiä, ovat joko runsaita tai vajaita.
Laskenta
[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]Muinaiset kreikkalaiset tunsivat vain neljä pienintä täydellistä lukua. Eukleides kirjoitti noin 300 eaa. kirjassaan Elementa, että ne saadaan kaavalla
- .
Eukleideen tuntemat täydelliset luvut ovat:
- n = 2:
- n = 3:
- n = 5:
- n = 7: . [2]
Eukleides osoitti, että on täydellinen luku aina, kun on Mersennen alkuluku. Vasta vuonna 1747 Leonhard Euler todisti, että kaavalla voidaan tuottaa kaikki parilliset täydelliset luvut[3]. Ei kuitenkaan tiedetä, onko olemassa parittomia täydellisiä lukuja.[2] Tiedetään kuitenkin, että parittoman täydellisen luvun täytyy olla suurempi kuin [4] ja sillä täytyy olla vähintään 8 alkulukutekijää, mikäli se on olemassa. Jos luku ei ole kolmella jaollinen, alkulukutekijöitä on vähintään 11. Mersennen alkulukuja ja siten myös täydellisiä lukuja etsitään GIMPS-projektin avulla.
Ominaisuuksia
[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]Täydellisillä luvuilla on useita mielenkiintoisia ominaisuuksia.
Tekijöiden käänteislukujen summa
[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]Täydellisen luvun kaikkien tekijöiden käänteislukujen summa on kaksi,
- .
Esimerkiksi, kun luku on 6, on sillä tekijät ja niiden käänteislukujen summa on
- .
Jokainen (parillinen) täydellinen luku on myös kolmioluku.
Katso myös
[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]- Moninkertaisesti täydellinen luku
- Puolitäydellinen luku
- Runsas luku
- Vajaa luku
- Lähes täydellinen luku
- GIMPS
Lähteet
[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]- Barrow John D.: Lukujen taivas. Suomentanut Vilikko, Risto. Smedjebacken, Ruotsi: Art House, 1999. ISBN 951-884-231-0
- Boyer, Carl B. & Merzbach, Uta C.: Tieteiden kuningatar – Matematiikan historia, osat I–II. Suomentanut Kimmo Pietiläinen. Helsinki: Art House, 1994. Virhe: Virheellinen ISBN-tunniste