Satunnaiskulku

Kahdeksan esimerkkiä yksiulotteisesta satunnaiskävelystä. Pystyakselilla on sijainti lukusuoralla, vaaka-akselilla otettujen askelien määrä.

Satunnaiskulku (engl. random walk) on matematiikassa yksinkertainen stokastinen prosessi, joka formalisoi ajatuksen satunnaiseen suuntaan otetuista peräkkäisistä askelista. Monesti satunnaiskulku ajatellaan diskreettiaikaiseksi prosessiksi, eli aika saa vain kokonaislukuarvoja ja aina uudella kokonaislukuarvolla prosessi siirtyy uuteen pisteeseen. Tässä tapauksessa piste on paikallaan vain kyseisen ajanhetken ja seuraavana erillisenä ajanhetkenä se taas on uudessa paikassa. Siinä välissä ei sen ajatella olevan missään koska aikaa ei pidetä jatkuvana, vaan diskreettinä(erillisten pistemäisten hetkien jonona).

Kyse on Markov-prosessin erikoistapauksesta, jonka tiloja ovat kokonaisluvut $i=0,\pm 1,\pm 2,...$. Markov-proseisseissa todennäköisyyttä siirtyä tilasta $i$ tilaan $j$ merkitään $P_{i,j}$. Satunnaiskulussa siirtymätodennäköisyydet ovat $P_{i,i+1}=p=1-P_{i,i-1}$, missä $0<p<1$. Siirtymä on siis täsmälleen yksi askel joko oikealle tai vasemmalle lukusuoralla, paikallaan pysyminen tai pidemmät askeleet eivät ole sallittuja.

Satunnaiskulku perustuu seuraaville säännöille:

• on olemassa alkupiste
• etäisyys pisteestä toiseen on vakio
• kaikki suunnat ovat yhtä todennäköisiä

Jatkuva-aikainen satunnaiskulku taas saadaan jos ajatellaan, että prosessi pysyy samassa pisteessä seuraavaan kokonaislukuarvoiseen ajanhetkeen saakka, jolloin se taas siirrähtää uuteen paikkaan. Tässä on kaksi erilaista vaihtoehtoa: piste voi olla paikallaan vielä seuraavalla kokonaislukuarvoisella ajanhetkellä ja siirrähtää heti sen jälkeen tai se voi aina tällaisella ajanhetkellä olla siirrähtänyt uuteen paikkaan.

Ajatellaan nyt jatkuva-aikaisen satunnaiskulun muunnelmaa joka saadaan pisteen siirtyminä kussakin aikayksikössä tasaisella nopeudella lukusuoralla yksikön verran oikealle tai vasemmalle. Näin satunnaiskulku on jatkuva funktio aika-akselilta lukusuoralle. Lukusuoran tilalle voidaan ottaa myös kaksi- kolmi- tai useampiulotteinen koordinaatisto, jolloin saadaan satunnaiskulun yleistys useampaan ulottuvuuteen.

Lyhennetään siirtymäaikaa niin, että uusi siirtymäaika saadaan jakamalla aikayksikkö positiivisen kokonaisluvun n toisella potenssilla. Lisäksi siirtymän pituudeksi lukusuoralla asetetaan 1/n. Tällöin on mahdollista osoittaa, että kokonaisluvun n kasvaessa äärettömiin satunnaiskulku lähestyy matemaattista Brownin liikettä (eli Wienerin prosessia).

Esimerkki

Yksinkertainen esimerkki on niin sanottu juopon merimiehen kävely. Oletetaan baarista tukevassa humalassa lähtevä merimies. Oletetaan tilanne yksiulotteiseksi. Merimies pullautetaan baarista kadulle, jota edustaa lukusuora. Baarin ovi on lukusuoran kohdassa x=0. Pisteessä x=L, kadun toisessa päässä sijaitsee oja. Merimies voi astua lukujanaa vasemmalle (negatiiviseen suuntaan) tai oikealle (positiiviseen suuntaan), kummatkin vaihtoehdot ovat yhtä todennäköisiä ja askelet ovat vakiopituisia. Teoria ennustaa, että merimies päätyy täysin varmasti, eli todennäköisyydellä yksi, ennemmin tai myöhemmin ojan pohjalle. Lievennyksenä tähän voi sanoa, että ehkä merimies sammuu ennen kuin päätyy ojaan. Se johtuu siitä, että ei ole olemassa mitään äärellistä askelmäärää, jota ennen jo aivan varmasti oltaisiin ojassa.

Sovelluksia

• Fysiikassa satunnaiskulkua käytetään yksinkertaisena mallina Brownin liikkeelle
• Taloustieteessä satunnaiskulkua voidaan käyttää osakkeiden hintojen mallintamiseen.
• Genetiikassa satunnaiskulkua käytetään kuvaamaan populaatioiden geeneissä tapahtuvia muutoksia.

Lähteet

• Dynkin, Juschkewitsch: Sätze und Aufgaben uber Markoffsche Prozesse, Springer-Verlag 1969, ss. 35–38

Aiheesta muualla

• Kuvia tai muita tiedostoja aiheesta Satunnaiskulku Wikimedia Commonsissa