Pseudopallo

Pseudopallo on geometriassa pinta, jolla on vakio negatiivinen Gaussin kaarevuus.

R-säteinen pseudopallo on avaruudessa $\mathbb {R} ^{3}$ oleva pinta, jonka Gaussin kaarevuus on kaikkalla $-R^{2}$. Nimi johtuu analogiasta R-säteisen pallopinnan kanssa, jonka kaarevuus on vakio $R^{2}$. Termin otti käyttöön vuonna 1868 Eugenio Beltrami, joka käytti tällaista pintaa mallina hyperboliselle geometrialle.

Traktroidi

Traktroidi

Tunnetuin pseudopallo on traktroidi, joka syntyy traktrix-käyrän pyörähtäessä asymptoottinsa ympäri. Usein termillä pseudopallo tarkoitetaankin nimenomaan traktroidia. Esimerkiksi pseudopallon puolisko, jonka Gaussin kaarevuus on -1, syntyy, kun traktrix, jolla on parametriesitys

$t\mapsto \left(t-\tanh {t},\operatorname {sech} \,{t}\right),\quad \quad 0\leq t<\infty .$,

pyörähtää x-akselin ympäri.

Traktrixilla on y-akselin kohdalla terävä kärki. Sen vuoksi traktroidilla on vastaavassa kohdassa, ekvaattorilla ympyrä, joka muodostaa pinnan singulariteetin ja jossa sen Gaussin kaarevuus ei ole määritelty. Sen sijaan kaikkialla muualla tällä pinnalla on vakio Gaussin kaarevuus, ja sen vuoksi pinta on lokaalisti isometrinen hyperbolisen tason kanssa.

Traktrixin pyörähdyspintana traktroidia tutki jo Christiaan Huygens vuonna 1693. Hän osoitti, että sen pinta-ala ja sen sisään jäävän alueen tilavuus ovat äärellisiä, vaikka pinta ulottuukin pyörähdysakselinsa suunnassa äärettömän kauas. Säteen ollessa R pinnan ala on $r\pi R^{2}$, samoin kuin pallopinnankin, kun taas sen rajoittaman alueen tilavuus on ${\frac {2}{3}}\pi R^{3}$, siis puolet samansäteisen pallon tilavuudesta.

Universaalinen peitepinta

Pseudopallo ja sen yhteys kolmeen muuhun hyperbolisen geometrian malleihin

Pseudopallon puolisko, jonka kaarevuus on -1, on hyperbolisesta tasosta horosyklin sisään jäävän alueen peitepinta. Poincarén puolipintamallissa sopiva valinta on se tason osa, jossa $y\geq 1$. Tällöin peitekuvaus on jaksollinen x-suunnassa, jaksona $2\pi$, ja kuvaa horosyklit $y=c$ pseudopallon meridiaaneille ja pystysuorat geodeettiset viivat $x=c$ niille traktrixeille, joiden avulla pseudopallo on muodostettu. Tämä kuvaus on lokaalisesti isometrinen ja näin ollen suoran y = 1 yläpuolella oleva puolitaso on pseudopallon universaalinen peiteavaruus. Kuvaus puolitasolta pseudopallolle on seuraava:

$(x,y)\mapsto {\big (}v(\operatorname {arcosh} y)\cos x,v(\operatorname {arcosh} y)\sin x,u(\operatorname {arcosh} y){\big )}$

missä

$t\mapsto {\big (}u(t)=t-\operatorname {tanh} t,v(t)=\operatorname {sech} t{\big )}$

on traktrixille edellä käytetty parametrointi.

Hyperboloidi

Pseudopallon vääntäminen osaksi Dinin pintaa. Differentiaaligeometriassa tämä on Lien muunnos.

Joissakin lähteissä, joissa hyperbolisen tason mallina käytetään hyperboloidia, tätä pintaa nimitetään pseudopalloksi. Sanan käyttö tässä merkityksessä johtuu siitä, että hyperboloidi voidaan käsittää Minkowskin avaruuteen upotetuksi imaginaarisäteiseksi palloksi.

Muita pseudopallomaisia pintoja

Laajemmassa mielessä pseudopallolla tarkoitetaan mitä tahansa pintaa, joka voidaan silesti upottaa avaruuteen $\mathbb {R} ^{3}$ ja jolla on vakio negatiivinen kaarevuus. Traktroidi on yksinkertaisin esimerkki. Muita esimerkkejä ovat Dinin pinnat, breather-pinnat ja Kuenin pinta.

Pseudopallot ja sine-Gordonin yhtälö

Pseudipallomaiset pinnat voidaan konstruoida sine-Gordonin yhtälön ratkaisuista. Tämä voidaan todistaa parametroimalla traktroidi uudellaan koordinaateilla, joissa Gaussin–Codazzin yhtälöt voidaan muotoilla uudestaan sine-Gordonin yhtälöiksi.

Erityisesti traktroidin Gaussin–Codazzin yhtälöt ovat samat kuin staattiseen solitoniratkaisuun sovellettu sine-Gordonin yhtälö, joten se toteuttaa Gaussin–Codazzin yhtälöt. Näissä koordinaateissa ensimmäinen ja toinen perusmuoto kirjoitetaan tavalla, joka osoittaa selvästi, että sine-Gordonin yhtälön jokaisen ratkaisun Kaarevuus#Gaussin kaarevuus on -1.

Näin sine-Gordonin yhtälön jokaisen ratkaisun avula voidaan määrittää ensimmäinen ja toinen perusmuoto, jotka toteuttavat Gaussin–Codazzin yhtälöt. On myös todistettu, että jokainen sellaista käyttää ainakin lokaalisti muodostamaan pinta, joka voidaan upottaa avaruuteen $\mathbb {R} ^{3}$.

Muutamia esimerkkejä sine-Gordonin ratkaisuista ja vastaavista pinnoista ovat:

• Staattinen 1-solitoni: pseudopallo (traktroidi)
• Liikkuva 1-soliton: Dinin pinta
• Breatherin ratkaisu: Breatherin pinta
• 2-solitoni: Kuenin pinta