Normaali luku

Normaali luku on reaaliluku, jonka päättymättömässä b-kantaisessa esityksessä jokainen numero, 2 numeron pari ja niin edelleen jokainen n numeron ryhmä esiintyy keskimäärin yhtä usein. Voidaan osoittaa, että melkein kaikki reaaliluvut ovat normaaleja, mutta todistus ei ole konstruktiivinen ja vain muutama konkreettinen esimerkki normaalista luvusta tunnetaan. Luku voi olla normaali vain jonkin tietyn kannan suhteen, esimerkiksi desimaalijärjestelmässä mutta ei binäärijärjestelmässä. Mikäli luvun jokainen yksittäinen numero esiintyy yhtä usein, mutta parit tai isommat ryhmät välttämättä eivät, luvun sanotaan olevan yksinkertaisesti normaali. Luku, joka ei ole normaali, on epänormaali.

Esimerkkejä ja ominaisuuksia

Normaalin luvun käsitteen kehitti Émile Borel vuonna 1909. Käyttäen Borelin-Cantellin lemmaa hän todisti, että melkein kaikki reaaliluvut ovat normaaleja, mikä merkitsee tässä sitä, että epänormaalien lukujen Lebesguen mitta on nolla. Becker ja Figueira todistivat vuonna 2002, että on olemassa laskettava normaali luku.

Esimerkit normaaleista luvuista ovat vähäisiä, tunnettuja esimerkkejä ovat Champernownen luku 0,1234567891011121314151617... joka saadaan kirjoittamalla luvun desimaaliosaksi peräkkäin positiiviset kokonaisluvut kymmenjärjestelmässä, ja Copelandin–Erdős'n vakio 0,235711131719232931374143... joka saadaan kirjoittamalla peräkkäin alkuluvut kymmenjärjestelmässä. Nämä luvut ovat normaaleja kymmenjärjestelmässä, mutta eivät välttämättä kaikkien kantojen suhteen.

Jokainen Chaitinin vakio $\ \Omega$ on normaali luku, mutta ne eivät ole laskettavia.

Yksikään rationaaliluku ei ole normaali minkään kannan suhteen, sillä jokaisen rationaaliluvun esitys minkä tahansa kantaisessa lukujärjestelmässä on lopulta jaksollinen.

Luvun, jota ei varta vasten ole konstruoitu normaaliksi, normaaliksi todistaminen on erittäin vaikeaa. Esimerkiksi oletetaan, että jokainen algebrallinen irrationaaliluku on normaali, mutta yhtäkään algebrallista lukua ei ole onnistuttu todistamaan normaaliksi.