Lotkan–Volterran yhtälö

Saaliseläinten (sininen) ja niitä saalistavien petojen (punainen) jaksollinen populaatiovaihtelu Lotkan–Volterran yhtälöiden linearisoidussa tapauksessa. Huomaa kuinka populaatioiden vaihtelu seuraa toisistaan viiveellä; lisääntyvät pedot syövät enemmän saaliseläimiä, jolloin ruokaa ei enää riitä kaikille, ja petojen vähennyttyä riittävästi saaliseläinten määrä lähtee uudestaan nousuun. Käyrät eivät kuitenkaan ole identtiset vaan saaliseläinten määrä reagoi petojen määrään nopeammin kuin toisinpäin. Tällainen kahdenvälinen vuorovaikutussuhde on hyvin tavallinen biologian lisäksi myös esimerkiksi taloustieteessä.

Lotkan–Volterran yhtälö on kahden epälineaarisen ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälön muodostama yhtälöryhmä. Se kuvaa kahden eliöpopulaation, petojen ja saaliiden, välistä riippuvuussuhdetta. Yhtälön esittivät toisistaan riippumatta amerikkalainen Alfred Lotka vuonna 1925 ja italialainen Vito Volterra vuonna 1926.

Lotkan–Volterran yhtälö on aukikirjoitettuna

${\frac {dx}{dt}}=x(\alpha -\beta y)$

${\frac {dy}{dt}}=-y(\gamma -\delta x)$,

missä x on saaliseläinten lukumäärä, y petojen lukumäärä ja t kuvaa aikaa. Derivaatat dx/dt ja dy/dt kuvaavat näiden lukumäärien muutosta ajan suhteen. Suureet α, β, γ ja δ ovat vakioita, joiden lukuarvot riippuvat peto- ja saalispopulaatioiden vuorovaikutuksen yksityiskohdista.

Tyypillisenä epälineaarisena differentiaaliyhtälöryhmänä Lotkan–Volterran yhtälön ratkaisu riippuu erittäin voimakkaasti sekä eläinten lukumäärästä alkuhetkellä, että populaatioiden välistä vuorovaikutusta kuvaavien vakioiden arvoista. Vaikka yhtälöiden ratkaisuna saatava populaatioiden koonvaihtelu on jaksollista (ellei tapahdu sukupuuttoa), sitä ei ole mahdollista lausua yleisessä muodossa esimerkiksi trigonometristen funktioiden avulla, vaan populaatiokokojen muutos on ratkaistava numeerisin menetelmin, esimerkiksi tietokoneella.

Aiheesta muualla

• Predaatio: saaliin ja saalistajan kilpajuoksu (Arkistoitu – Internet Archive)
• Metsäekologian laitos: Systeemianalyysi 1^{[vanhentunut linkki]} (PDF)
• Lotka-Volterra Model (englanniksi)