Linnikin lause
Linnikin lause vastaa analyyttisen lukuteorian alalla Dirichlet'n aritmeettisia lukujonoja koskevan lauseen pohjalta nousevaan luonnolliseen kysymykseen.
Olkoot a ja d sellaisia keskenään jaottomia positiivisia kokonaislukuja, että 1 ≤ a ≤ d. Tällöin aritmeettinen lukujono
- a + nd,
missä n käy läpi kaikki positiiviset kokonaisluvut, sisältää Dirichlet'n lauseen mukaan äärettömän määrän alkulukuja.
Olkoon p(a,d) näistä pienin kullakin a ja d.
Linnikin lauseen mukaan on tällöin olemassa sellaiset positiiviset reaaliluvut c ja L, että:
Lause on nimetty Juri Vladimirovitš Linnikin mukaan. Hän todisti sen vuonna 1944. [1][2] Vaikka Linnikin todistuksen mukaan c ja L ovat efektiivisesti laskettavissa, hän ei esittänyt niille numeerisia arvoja.
Vakiota L kutsutaan Linnikin vakioksi. Seuraava taulukko kuvaa edistysaskeleita sen arvon laskemisessa.
| L ≤ | Julkaisuvuosi | Tekijä |
| 10000 | 1957 | Pan[3] |
| 5448 | 1958 | Pan |
| 777 | 1965 | Chen[4] |
| 630 | 1971 | Jutila |
| 550 | 1970 | Jutila[5] |
| 168 | 1977 | Chen[6] |
| 80 | 1977 | Jutila[7] |
| 36 | 1977 | Graham[8] |
| 20 | 1981 | Graham[9] (tehty ennen Chenin 1979 artikkelin ilmestymistä) |
| 17 | 1979 | Chen[10] |
| 16 | 1986 | Wang |
| 13.5 | 1989 | Chen and Liu[11][12] |
| 5.5 | 1992 | Heath-Brown[13] |
Lisäksi Heath-Brownin tuloksessa vakio c on efektiivisesti laskettavissa.
Tiedetään, että L ≤ 2 lähes kaikilla kokonaisluvuilla d.[14]
Yleistetyn Riemannin hypoteesin avulla voidaan osoittaa, että
missä on Eulerin funktio. [13]
On myös esitetty olettamus, että:
Lähteet
[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]- ↑ Linnik, Yu. V. On the least prime in an arithmetic progression I. The basic theorem Rec. Math. (Mat. Sbornik) N.S. 15 (57) (1944), pages 139–178
- ↑ Linnik, Yu. V. On the least prime in an arithmetic progression II. The Deuring-Heilbronn phenomenon Rec. Math. (Mat. Sbornik) N.S. 15 (57) (1944), pages 347–368
- ↑ Pan Cheng Dong On the least prime in an arithmetical progression. Sci. Record (N.S.) 1 (1957) pp. 311–313
- ↑ Chen Jingrun On the least prime in an arithmetical progression. Sci. Sinica 14 (1965) pp. 1868–1871
- ↑ Jutila, M. A new estimate for Linnik's constant. Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A I No. 471 (1970) 8 pp.
- ↑ Chen Jingrun On the least prime in an arithmetical progression and two theorems concerning the zeros of Dirichlet's $L$-functions. Sci. Sinica 20 (1977), no. 5, pp. 529–562
- ↑ Jutila, M. On Linnik's constant. Math. Scand. 41 (1977), no. 1, pp. 45–62
- ↑ Applications of sieve methods Ph.D. Thesis, Univ. Michigan, Ann Arbor, Mich., 1977
- ↑ Graham, S. W. On Linnik's constant. Acta Arith. 39 (1981), no. 2, pp. 163–179
- ↑ Chen Jingrun On the least prime in an arithmetical progression and theorems concerning the zeros of Dirichlet's $L$-functions. II. Sci. Sinica 22 (1979), no. 8, pp. 859–889
- ↑ Chen Jingrun and Liu Jian Min On the least prime in an arithmetical progression. III. Sci. China Ser. A 32 (1989), no. 6, pp. 654–673
- ↑ Chen Jingrun and Liu Jian Min On the least prime in an arithmetical progression. IV. Sci. China Ser. A 32 (1989), no. 7, pp. 792–807
- ↑ a b c Heath-Brown, D. R. Zero-free regions for Dirichlet L-functions, and the least prime in an arithmetic progression, Proc. London Math. Soc. 64(3) (1992), pp. 265–338
- ↑ E. Bombieri, J. B. Friedlander, H. Iwaniec. "Primes in Arithmetic Progressions to Large Moduli. III", Journal of the American Mathematical Society 2(2) (1989), pp. 215–224.