Analyyttinen lukuteoria

Analyyttinen lukuteoria on lukuteorian osa-alue, jossa lukuteorian ongelmien ratkaisemiseen käytetään matemaattisen analyysin menetelmiä. Ensimmäinen merkittävä analyysiä lukuteoriaan soveltamalla saatu tulos oli todistus Dirichlet'n lauseelle alkuluvuista aritmeettisessa lukujonossa. Myös alkulukulauseen todistus oli tärkeä merkkipaalu analyyttisen lukuteorian historiassa.

Analyyttisen lukuteorian kehitys on jatkunut yhtä vilkkaana kuin kukoistuskaudellaan 1930-luvulla. Multiplikatiivinen lukuteoria käsittelee alkulukuja ja Dirichlet'n sarjoja. Samoja menetelmiä on pyritty yleistämään yleisille L-sarjoille, mutta tässä teoriassa on vielä paljon ratkaisemattomia ongelmia. Tyypillisiä additiivisen lukuteorian ongelmia ovat muun muassa Goldbachin konjektuuri ja Waringin probleema.

Analyyttisen lukuteorian menetelmät ovat muuttuneet jonkin verran ajan kuluessa. Hardyn ja Littlewoodin ympyrämenetelmä tarkasteli potenssisarjoja lähellä yksikköympyrää, kun taas nykyään sarjat yleensä katkaistaan ja tarkastellaan äärellisiä summia. Diofantoksen approksimointi on tullut apukeinona generoivien funktioiden lisäksi. Näiden funktioiden kertoimet on konstruoitu kyyhkyslakkaperiaatetta hyväksikäyttämällä ja kertoimet ovat kompleksilukuja. Diofantoksen approksimoinnin ja transkendentiaalisuusteorian kehitystä on voitu käyttää Mordellin otaksuman tutkimisessa.

Suurin yksittäinen analyyttisen lukuteorian menetelmä 1950-luvun jälkeen on ollut seulamenetelmät, jotka sopivat erityisesti multiplikatiivisiin ongelmiin. Nämä menetelmät ovat luonteeltaan kombinatorisia.

Myös probabilististä lukuteoriaa käytetään paljon. Probabilistisen lukuteorian ideana on laskea todennäköisyys, että satunnaisesti valitulla tietyn perusjoukon alkiolla on tietty ominaisuus. Jos perusjoukko on äärellinen ja tämä todennäköisyys on 1, niin tällöin ominaisuus pätee kaikilla alkioilla ja lause on saatu todistettua. Äärettömien joukkojen ollessa kysymyksessä tällainen logiikka ei päde, koska ne voivat sisältää äärettömiäkin sellaisia nollamitallisia osajoukkoja, joissa ko. ominaisuus ei ole voimassa. Numeroituvan perusjoukon ollessa kysymyksessä todennäköisyys 1 tarkoittaa sitä, että niiden alkioiden, joilla kyseinen ominaisuus ei ole voimassa, suhteellinen osuus lähestyy asymptoottisesti nollaa, kun alkioita käydään läpi numerointijärjestyksessä.

Esimerkki probabilistisesta lukuteoreettisesta virhepäätelmästä

Väitämme, että lukua 1 suurempien luonnollisten lukujen joukossa alkulukujen tiheys on 1/2.

Muodostamme näiden kokonaislukujen numeroinnin siten, että valitsemme numerointiin vuorotellen alkuluvun ja yhdistetyn luvun niiden esiintymisjärjestyksessä. Näin saamme lukujonon

$2,4,3,6,5,8,7,9,11,10,13,12,17,14,19,15,23,16,29,...$

Näin saadusta lukujonosta toteamme helposti, että:

• Se sisältää kaikki lukua 1 suuremmat luonnolliset luvut, jokaisen täsmälleen yhteen kertaan ja
• Joka toinen jonon luvuista on alkuluku.

Tämän perusteella voitaisiin helposti vetää se johtopäätös, että lukua 1 suurempien luonnollisten lukujen joukossa esiintyisi alkulukuja tiheydellä 1/2, eli todennäköisyys sille, että joukosta "satunnaisesti" valittu luku on alkuluku, olisi 50 %.

Virhepäätelmä johtuu siitä, että uuden lukujen järjestyksen muuttamisen yhteydessä todennäköisyysjakaumaa on muutettu "työntämällä" yhdistetyt luvut kauemmaksi.