Lävistäjä (geometria)

Konkaavissa monikulmiossa lävistäjät kulkevat sekä sisosan läpi (punaiset janat) että monikulmion ulkopuolella (vihreät). Sivut ovat mustia janoja.

Kuutio on monitahokas, jolla on sekä avaruuslävistäjiä (sininen) että tahkon lävistäjiä (punainen).

Lävistäjä eli diagonaali on geometriassa jana, joka yhdistää monikulmion kulmat toisiinsa kulkien kokonaan tai osittain monikulmion sisäosan läpi taikka joskus monikulmion ulkopuolellakin. Kuitenkin, jos jana yhdistää monikulmion vierekkäiset kulmat toisiinsa, kutsutaan janaa monikulmion sivuksi. Lävistäjä on myös avaruusgeometriassa jana, joka yhdistää monitahokkaan kärjet toisiinsa. Jana voi tällöin kulkea kokonaan tai osittain monitahokkaan sisäosan läpi tai joskus monitahokkaan ulkopuolellakin. Silloin sitä kutsutaan avaruuslävistäjäksi. Joskus lävistäjä kulkee myös kokonaan tai osittain tahkon pintaa pitkin. Silloin sitä kutsutaan tahkon lävistäjäksi. Kuitenkin, jos jana yhdistää kaksi tahkon vierekkäistä kärkeä ja kulkee kahden vierekkäisen tahkon reunaa pitkin, kutsutaan janaa monitahokkaan särmäksi.

Monikulmiot

Tapa, jolla lävistäjät voidaan piirtää monikulmioihin, jakaa monikulmiot konvekseihin ja konkaaveihin monikulmioihin. Jos monikulmion kaikki lävistäjät ovat kokonaan monikulmion sisällä, on se konveksi monikulmio, muussa tapauksessa konkaavi.

Minkä tahansa n-kulmaisen monikulmion sisäosa voidaan jakaa lävistäjillä $n-2$ kolmioiksi niin, etteivät lävistäjät leikkaa toisiaan. Konveksi monikulmio voidaan jakaa lävistäjillä kolmioihin

${\tbinom {n}{4}}+{\tbinom {n-1}{2}}$

eri tavalla. Konkaavi monikulmio voidaan jakaa kolmioihin vain niillä lävistäjillä, jotka ovat kokonaan monikulmion sisällä.

Nelikulmio on pienin monikulmio, jolla on lävistäjiä, sillä kolmiolla niitä ei ole. Säännölliset monikulmiot kuuluvat konvekseihin monikulmioihin ja neliö on niistä toiseksi pienin säännöllinen monikulmio. Sillä on kaksi lävistäjää, jotka ovat yhtä pitkät. Säännöllisen viisikulmion kaikki 5 lävistäjää ovat vielä saman mittaisia, mutta säännöllisellä kuusikulmiolla on jo eri mittaisia lävistäjiä. Niistä kolme on yhtä pitkiä ja loput kuusi yhtä lyhyitä.

Monitahokkaat

Monitahokkaiden tahkot ovat monikulmiota, joten monikulmioiden nimitykset ja ominaisuudet soveltuvat myös niihin. Monitahokkaiden avaruuslävistäjien lukumäärät ja ominaisuudet riippuvat monesta seikasta yhtä aikaa. Säännöllisissä monitahokkaissa on helpompi pohtia avaruuslävistäjien ominaisuuksia. Tetraedrissä kaikki särmät ovat yhtä pitkiä. Koska sen avaruuslävistäjät kulkisivat aina tahkoja pitkin, ei sillä ole sen takia sellaisia olemassa. Myöskään tahkojen lävistäjiä ei ole olemassa, koska tahkot ovat aina kolmioita. Kuutiossa on neljä yhtä pitkää avaruuslävistäjää ja 12 yhtä pitkää tahkon lävistäjää. Säännöllisistä viisikulmioista muodostetuilla dodekaedreillä on 12 tahkoa, 20 kärkeä ja 30 särmää. Tahkon lävistäjiä on 60 kappaletta ja ne ovat kaikki yhtä pitkiä. Sillä on silloin

${\tbinom {20}{2}}-12\cdot 5-30=100$

avaruuslävistäjää, jotka ovat montaa eri pituutta.

Lähteet

• Väisälä, Kalle: Geometria. Porvoo: Wsoy, 1959. Teoksen verkkoversio (pdf) (viitattu 16.4.2014).
• Kontkanen, Pekka & al.: Pyramidi 3. (lukion pitkän matematiikan oppikirja) Helsinki: Tammi, 2005. ISBN 978-951-26-5059-0