Kuristusperiaate

Kuristusperiaate

Kuristusperiaate (myös kuristuslause) on analyysiin liittyvä lause funktion raja-arvon tai lukujonon raja-arvon määrittämiseksi: olkoot $b(x)$, $a(x)$ ja $c(x)$ määriteltyjä $d$:n lähellä siten, että

$\lim _{x\to d}b(x)=\lim _{x\to d}c(x)=A$ ja

$b(x)\leq a(x)\leq c(x)$ pätee $d$:n lähellä.

Tällöin $\lim _{x\to d}a(x)=A$.

Todistus

Todistetaan tapauksessa $x\to d_{-}$, tapaus $x\to d_{+}$ todistetaan vastaavalla tavalla (jos funktiot ovat lauseen ehtojen mukaisesti määriteltyjä, kun $x>d$).

Olkoon $\epsilon >0$. Oletuksista seuraa, että on olemassa $\delta _{1}>0$ siten, että $|b(x)-A|<\epsilon$, kun $d-\delta _{1}<x<d$. Samaten on olemassa $\delta _{2}>0$ siten, että $|c(x)-A|<\epsilon$, kun $d-\delta _{2}<x<d$.

Valitaan $\delta :=\min\{\delta _{1},\delta _{2}\}$. Nyt $A-\epsilon <b(x)\leq a(x)\leq c(x)<A+\epsilon$, kun $d-\delta <x<d$, joten tällöin pätee $A-\epsilon <a(x)<A+\epsilon$. Tämä on yhtäpitävää epäyhtälön $|a(x)-A|<\epsilon$ kanssa.

Täten $\lim _{x\to d_{-}}a(x)=A$. $\square$

Esimerkkejä

$x^{2}\sin {({\tfrac {1}{x}})}$ ei ole määritelty, kun $x=0$.

Sinifunktion ominaisuuksista tiedetään, että $-1\leq \sin {({\tfrac {1}{x}})}\leq 1$, kun $x\neq 0$, joten $-x^{2}\leq x^{2}\sin {({\tfrac {1}{x}})}\leq x^{2}$. Koska $\lim _{x\to 0}-x^{2}=0$ ja $\lim _{x\to 0}x^{2}=0$, niin kuristusperiaatteen nojalla $\lim _{x\to 0}x^{2}\sin {({\tfrac {1}{x}})}=0$.

Aiheesta muualla

• Raja-arvon kuristaminen