Kultainen leikkaus

Kultaisen leikkauksen mukaisesti jaettu jana. Janan koko pituuden a + b suhde suurempaan osaan a on sama kuin tämän osan suhde pienempään osaan b.

Kultainen leikkaus eli kultainen suhde saadaan, kun jana jaetaan kahteen osaan niin, että lyhyemmän osan suhde pidempään osaan on sama kuin pidemmän osan suhde koko janaan. Kultainen suhde on tällöin pidemmän ja lyhyemmän jako-osan pituuksien suhde, noin 1 : 0,618 tai 1,618 : 1. Janan jakamista tällä tavoin sanotaan myös sen jakamiseksi jatkuvassa suhteessa.

Kultaista leikkausta tutkivat ensimmäisenä antiikin Kreikan matemaatikot huomattuaan, että suhde esiintyy useissa geometrisissa kuvioissa. Sillä on tärkeä rooli paitsi matematiikassa myös estetiikassa, arkkitehtuurissa, taiteessa, luonnossa ja musiikissa.

Kultainen leikkaus taiteessa ja arkkitehtuurissa

Ateenan Parthenon

Kultainen leikkaus on kuvataiteessa ja arkkitehtuurissa sommittelun perussääntöjä. Muodot, joissa esiintyy kultainen leikkaus, koetaan yleisesti esteettisesti miellyttäviksi. Keskimäärin miellyttävimpinä pidetään sellaisia ihmiskasvoja tai ruumiinrakennetta, joiden suhteet vastaavat kultaista leikkausta parhaiten.

Kultainen leikkaus esiintyy usein jo antiikin Kreikan arkkitehtuurissa. Esimerkiksi Ateenan Parthenonin korkeuden ja sen päädyn pituuden suhde on suurella tarkkuudella kultainen leikkaus.

Matematiikan vakio

Kultaisen leikkauksen arvo voidaan laskea sen määritelmän perusteella. Jos tarkasteltavan janan pituus on 1 ja sen pidemmän jako-osan $x\,$, niin lyhempi jako-osa on $1-x\,$, ja $x\,$ toteuttaa yhtälön ${\frac {1}{x}}={\frac {x}{1-x}}$ eli $x^{2}+x-1=0\,$. Tämän toisen asteen yhtälön positiivinen ratkaisu on $x={\frac {1}{2}}({\sqrt {5}}-1)$. Kultaisen leikkauksen arvo on ${\frac {1}{x}}={\frac {1}{2}}(1+{\sqrt {5}})=1{,}61803\dots$. Kultaista leikkausta merkitään usein symbolilla $\phi \,$ (fii).

Kultaiseen leikkaukseen liittyy läheisesti myös Fibonaccin lukujono, jossa jokainen luku on kahden edellisen luvun summa. Siinä kahden peräkkäisen luvun suhde on sitä lähempänä kultaista leikkausta, mitä pidemmälle lukujonossa edetään, eli tämän suhteen raja-arvo on sama kuin kultaisen leikkauksen suhdeluku.

Geometriset konstruktiot

Janan jako

Janan jako kultaisen leikkauksen suhteessa.

Eukleides esittää teoksessaan Alkeet keinon, jolla jana voidaan jakaa jatkuvassa eli kultaisen leikkauksen mukaisessa suhteessa (kirjan II propositio 11). Tämä voidaan suorittaa useammallakin tavalla, joista yksi on seuraava:

• Piirretään janan AB päätepisteeseen B sitä vastaan kohtisuora jana, jonka pituus on puolet AB:sta ja merkitään sen päätepistettä C:llä. Piirretään myös jana AC, joka yhdistää tämän pisteeseen A.
• Piste C keskipisteenä piirretään ympyrä, jonka säde on CB. Se leikkaa janan AC pisteessä D.
• Piste A keskipisteenä piirretään ympyrä, jonka säde on AD. Sen ja alkuperäisen janan AB leikkauspiste S jakaa tämän janan kultaisen leikkauksen suhteessa.

Eukleides myös käyttää tulosta säännöllisen viisikulmion piirtämiseen (kirjan IV propositio 11). On arveltu, että Eukleideen esittämä konstruktio on alun perin pythagoralaisten keksimä.

Kultainen kolmio

Kultainen kolmio. Suhde a:b on kultainen leikkaus.

Tasakylkisessä kolmiossa, jonka kulmat ovat 36°, 72° ja 72°, on kyljen ja kannan suhde sama kuin kultainen leikkaus.. Tällaista kolmiota sanotaan kultaiseksi kolmioksi.

Viisikulmio, kymmenkulmio ja pentagrammi

Säännöllinen kymmenkulmio

Pentagrammi

Säännöllinen kymmenkulmio voidaan jakaa kymmeneen kultaiseen kolmioon, joilla on yhteinen kärki kymmenkulmion keskipisteessä. Tämän vuoksi ympyrän sisään piirretyssä säännöllisessä kymmenkulmiossa ympyrän säteen ja kymmenkulmion sivun suhde on myös kultainen leikkaus.

Säännöllisessä viisikulmiossa lävistäjän ja sivun suhde on kultainen leikkaus, samoin ympyrän säteen ja sen sisään piirretyn säännöllisen kymmenkulmion sivun suhde.

Pentagrammin konstruoiminen perustuu kultaiseen leikkaukseen. Pentagrammi on kuvio, joka saadaan, kun säännölliselle viisikulmiolle piirretään lävistäjät ja poistetaan alkuperäinen viisikulmio. Lävistäjät jakavat toiset lävistäjät kolmeen osaan. Säännöllisen viisikulmion lävistäjät jakavat toisensa kultaisen leikkauksen suhteessa. On arveltu, että tämän ominaisuuden takia antiikin filosofi Pythagoras valitsi pentagrammin salaseuransa symboliksi.

Kultainen suorakulmio

Kultaisen suorakulmion konstruointi.

Kultainen suorakulmio

Esimerkki suorakulmiosta joka ei ole kultainen suorakulmio: A-sarjan paperikoot

Kultainen suorakulmio on suorakulmio, jonka sivujen suhteet noudattavat kultaista leikkausta. Tällainen suorakulmio voidaan konstruoida oheisen kuvion yhteydessä selitetyllä tavalla:

1. Piirretään neliö (oheisessa kuvassa punainen).
2. Piirretään yhden sivun keskipisteestä jana vastakkaisen sivun päätepisteeseen.
3. Saatu jana säteenä piirretään ympyrä, jonka keskipiste ko. janan alkupiste.
4. Jatketaan neliön sitä sivua, jossa ympyrän keskipiste on, ympyrän kehään saakka. Tällöin saadaan kultaisen suorakulmion pitempi sivu; lyhempi sivu on tätä vastaan kohtisuora alkuperäisen neliön sivu.

Katso myös

• Keplerin kolmio
• Kolmanneksen sääntö
• Kultainen kulma
• Sommittelu

Lähteet

• Ching, Francis D. K.: Architecture: Form, space & order. New York: van Nostrand Reinhold Co. Inc, 1979. ISBN 0-442-21534-7 (englanniksi)
• Hrant, Arakelian: Mathematics and History of the Golden Section, Logos 2014, 404 p. ISBN 978-5-98704-663-0 (rus.)

Aiheesta muualla

• Kuvia tai muita tiedostoja aiheesta Kultainen leikkaus Wikimedia Commonsissa