Klassiset Lien ryhmät

Matematiikassa klassiset Lien ryhmät ovat neljä ääretöntä perhettä Lien ryhmiä, jotka liittyvät läheisesti euklidisen avaruuden symmetrioihin. Näiden äärelliset analogiset ryhmät ovat klassisia Lien tyyppisiä ryhmiä. Klassisen ryhmän käsitteen esitteli Hermann Weyl vuoden 1939 monografiansa otsikossa The Classical Groups).

Toisinaan klassisia ryhmiä tarkastellaan kompakteista ryhmistä rajoitetussa asetuksessa. Tästä seuraa se, että niiden esitysteoria ja algebrallinen topologia on helpommin käsiteltävissä. Tämä ei kuitenkaan sisällä yleisen lineaarisen ryhmän tapausta.

Suhde bilineaarisiin muotoihin

Yleinen piirre klassisilla Lien ryhmillä on se, että niistä jokainen samantapainen bilineaarisen muodon tai seskvilineaarisen muodon kanssa. Nämä neljä tyyppiä klassisia Lien ryhmiä on varustettu Dynkini kaaviolla. Perheet on esitelty seuraavasti:

• A_n = SU(n + 1), erityinen unitaarinen ryhmä, jonka muodostavat unitaariset $(n+1)\times (n+1)$ kompleksikertoimiset matriisit, joiden determinantti on yksi.
• B_n = SO(2n + 1), erityinen ortogonaalinen ryhmä, jonka muodostavat $(2n+1)\times (2n+1)$ reaalikertoimiset matriisit, joiden determinantti on yksi.
• C_n = Sp(n), $2n+1\times (2n+1)$-kvaternioneiden matriisien symplektinen ryhmä, jotka säilyttävät tavallisen sisätulon Hⁿ:ssä.
• D_n = SO(2n), erityinen ortogonaalinen ryhmä, jonka muodostavat $2n\times 2n$ reaalikertoimiset matriisit, joiden determinantti on yksi.

Joissakin tapauksissa on luonnollista pudottaa pois ehto determinantti on yksi ja tarkastella unitaarisia ja epäyhtenäisiä ortogonaalisia ryhmiä. Taulukossa on lueteltu niin sanotut ryhmien yhtenäiset kompaktit reaalimuodot; ne liittyvät läheisesti kompleksisiin analogisiin ja useisiin ei-kompakteihin muotoihin, esimerkiksi yhdessä kompaktien ortogonaalisten ryhmien kanssa tarkastellaan epämääräistä ortogonaalista ryhmää. Lien algebrat, jotka vastaavat näitä ryhmiä, ovat nimeltään klassiset Lien algebrat. Kaikki klassiset Lien algebrat sopivat yhteen ääretönulotteisen Lien algebran, kuten Moyalin algebran, kanssa.

Kun klassista ryhmää G tarkastellaan ryhmän GL(n) aliryhmänä määritelmänsä perusteella, jonka mukaan se on vektoriavaruuden automorfismien ryhmä joka säilyttää joitain involuutioita saadaan G:n esitys, jota kutsutaan standardiksi esitykseksi.

Klassiset ryhmät yleisten kuntien tai renkaitten suhteen

Klassiset ryhmät, joita tarkastellaan laajemmin algebrassa, ovat kiinnostava esimerkki matriisiryhmistä. Kun matriisinryhmän kertoimien muodostama rengas on reaali- ja kompleksilukujen muodostama kunta, nämä ryhmät ovat klassisia Lien ryhmiä.

Kun klassisia ryhmiä tarkastellaan äärellisen kunnan suhteen, on klassiset ryhmät Lien tyyppisiä ryhmiä. Näillä ryhmillä on suuri merkitys äärellisten yksinkertaisten ryhmien luokittelussa. Tarkastelemalla ryhmäteoriaa nähdään, että monilla lineaarisilla ryhmillä on "erityinen" aliryhmä, joka koostuu usein determinanttia yksi olevista alkioista (ortogonaalisille karakteristikaa kaksi oleville ryhmille se sisältää alkiot, joiden Dicksonin inveriantti on nolla, ja useimpiin näistä on liittynyt "projektiiviset" tekijät, jotka ovat ryhmän keskustan tekijöitä.

Sana "yleinen" ryhmän edessä tarkoittaa yleensä, että ryhmää voidaan kertoa jonkuntyyppisellä vakiolla toisin kuin jättää se kiinteäksi. Alaindeksi n tarkoittaa yleensä sen modulin dimensiota, missä ryhmä toimii. Varoitus: tämä merkintä kalskahtaa hieman jos n:ää käytetään Dynkinin kaavioiden yhteydessä, koska merkintätapa voi myös tarkoittaa rankkia.

Yleiset ja erityiset lineaariset ryhmät

Yleinen lineaarinen ryhmä GL_n(R) on kaikkien Rⁿ:n R-lineaaristen automorfismien muodostama ryhmä. Tämän aliryhmänä saadaan erityinen lineaarinen ryhmä SL_n(R) ja tekijäryhmäksi saadaan projektiivinen yleinen lineaarinen ryhmä PGL_n(R) = GL_n(R)/Z(GL_n(R)) ja projektiivinen erityinen lineaarinen ryhmä PSL_n(R) = SL_n(R)/Z(SL_n(R)). Projektiivinen erityinen lineaarinen ryhmä PSL_n(R) reaalilukujen kunnan suhteen on yksinkertainen kun n ≥ 2, lukuun ottamatta tapauksia n = 2 ja kun kunnan kertaluku on kaksi tai kolme.

Unitaariset ryhmät

Unitaarinen ryhmä U_n(R) on ryhmä joka säilyttää modulin seskvilineaarisen muodon. Näillä on aliryhmämä erityinen unitaarinen ryhmä SU_n(R) ja niiden tekijänä saadaan projektiivinen unitaarinen ryhmä PU_n(R) = U_n(R)/Z(U_n(R)) ja projektiivinen erityinen unitaarinen ryhmä PSU_n(R) = SU_n(R)/Z(SU_n(R))

Symplektiset ryhmät

Symplektinen ryhmä Sp_2n(R) säilyttää modulin vinosymmetrisen muodon. Sillä on tekijänä projektiviinen symplektinen ryhmä PSp_2n(R). Yleinen symplektinen ryhmä GSp_2n(R) sisältää modulien automorfismit, joissa vinosymmetrinen muoto on kerrottu jollain kääntyvällä skalaarilla. Projektiivinen symplektinen ryhmä PSp_2n(R) äärellisen kunnan R suhteen on yksinkertainen kun n ≥ 1, lukuun ottamatta tapauksia, missä n = 1 ja kunnan kertaluku on 2 tai 3.

Ortogonaaliset ryhmät

Ortogonaalinen ryhmä O_n(R) säilyttää modulin ei-degeneroidun kvadraattisen muodon. Tämän aliryhmä on erityinen ortogonaalinen ryhmä SO_n(R) ja tekijöinä projektiivinen ortogonaalinen ryhmä PO_n(R) ja projektiivinen erityinen ortogonaalinen ryhmä PSO_n(R) (Kun karakteristika on kaksi, on determinantti aina yksi, joten ortogonaalinen ryhmä määritellään usein niiden alkioiden muodostamana ryhmänä, joiden Dicksonin invariantti on yksi.)

On olemassa nimetön ryhmä, jota merkitään usein Ω_n(R). Se koostuu ortogonaalisen ryhmän alkioista, joiden spinor normi on yksi ja vastaavan ali- ja tekijäryhmät ovat SΩ_n(R), PΩ_n(R), PSΩ_n(R). (Positiivisesti definiitille neliömudoille reaalilukujen suhteen ryhmä Ω on sama kuin ortogonaalinen ryhmä, mutta yleisessä tapauksessa se on pienempi. On olemassa myös ryhmän Ω_n(R) kaksoispeite, jota kutsutaan pin-ryhmäksi, Pin_n(R), ja sen aliryhmä on spin-ryhmä Spin_n(R). Yleinen ortogonaalinen ryhmä GO_n(R) sisältää automorfismit, jotka saadaan ottamalla moduli, joka saadaan kertomalla neliömuoto jollain kääntyvällä skalaarilla.

Vastakohta poikkeuksellisiin Lien ryhmiin

Vastakohtana klassisiin Lien ryhmiin ovat poikkeukselliset Lien ryhmät G₂, F₄, E₆, E₇, E₈, jotka ovat vähemmän tunnettuja. Nämä löydettiin noin vuonna 1890 kun Wilhelm Killing ja Élie Cartan luokitteli yksinkertaiset Lien algebrat kompleksilukujen suhteen.

Aiheesta muualla

• E. Artin, Geometric algebra, Interscience (1957)
• Dieudonné, Jean: La géométrie des groupes classiques. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (N.F.), Heft 5. Berlin, New York: Springer-Verlag, 1955. ISBN 978-0-387-05391-2 Teoksen verkkoversio.
• Malline:Springer