Klassinen elektronin säde

Klassinen elektronin säde, joka tunnetaan myös Lorentzin säteenä tai Thomsonin sironnan pituutena, on klassiseen fysiikkaan ja suhteellisuusteoriaan, mutta ei kvanttimekaniikkaan perustuva arvio elektronin säteelle. Sen suuruus on

$r_{\mathrm {e} }={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {e^{2}}{m_{\mathrm {e} }c^{2}}}=2{,}8179403267(27)\times 10^{-15}\mathrm {m}$

missä $e$ on elektronin varaus eli alkeisvaraus, $m_{\mathrm {e} }$ elektronin massa, $c$ valonnopeus ja $\varepsilon _{0}$ tyhjiön permittiivisyys eli sähkövakio.

CGS-järjestelmän Gaussin yksiköissä, elektronin säde voidaan laskea yksinkertaisemmin

$r_{\mathrm {e} }={\frac {e^{2}}{m_{e}c^{2}}}=2{,}8179403267(27)\times 10^{-13}\mathrm {cm}$

sillä näissä yksiköissä on kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella

$e=4{,}80\times 10^{-10}\mathrm {esu} ,\quad m_{e}=9{,}11\times 10^{-28}\mathrm {g} ,\quad c=3{,}00\times 10^{10}\mathrm {cm/s} \,$.

Klassisen elektro­statiikan mukaan energia, joka tarvitaan keräämään palloon, jonka säde on $r_{e}$, varaus $e$ siten, että varaustiheys pallon sisällä on vakio, on

$E={\frac {3}{5}}\,\,{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {e^{2}}{r_{\mathrm {e} }}}$.

Jos taas varaus on pallon pinnalla, tarvittava energia on

$E={\frac {1}{2}}\,\,{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {e^{2}}{r_{\mathrm {e} }}}$.

Jos näistä jätetään pois kerron 3/5 tai 1/2 ja jos oletetaan, että tämä vastaa elektronin suhteellisuusteorian mukaista massa­energiaa (E=mc²) ja jos yhtälöstä ratkaistaan säde $r_{e}$, saadaan elektronin massalle edellä oleva arvio.

Toisin sanoen klassinen elektronin säde on suunnilleen se säde, joka elektronilla pitäisi olla, jos sen massan oletetaan johtuvan kokonaan sen elektro­staattisesta potentiaalienergiasta eikä kvanttimekaniikkaa oteta huomioon. Nykyisin tiedetään, että näin pienillä etäisyyksillä elektronin käyttäytymistä ei voida ymmärtää muutoin kuin kvantti­mekaniikan ja kvanttikenttäteorian avulla, minkä vuoksi klassisen elektronin säteen ei enää katsota vastaavan elektronin todellista sädettä. Kuitenkin klassista elektronin sädettä käytetään yhä liki­arvona klassisella rajalla toimivissa teorioissa kuten Thomsonin sironnan epä­relati­vistisessa teoriassa ja relativistisessa Klein-Nishinan kaavassa. Klassinen elektronin säde ilmaisee myös suunnilleen sen etäisyyden, jolla renormalisointi tulee tärkeäksi kvantti­elektro­dynamiikassa.

Klassinen elektronin säde on yksi kolmesta atomi­fysiikassa tärkeästä pituus­yksiköistä, joista kaksi muuta ovat Bohrin säde $a_{0}$ ja elektronin Comptonin aallonpituus $\lambda _{e}$. Klassinen elektronin säde on muodostettu elektronin massan $m_{e}$, valonnopeuden $c$ ja elektronin varauksen $e$ avulla. Bohrin säde on muodostettu elektronin massan ja varauksen sekä Planckin vakion $h$ avulla, Comptonin aallon­pituus taas elektronin massan, Planckin vakion ja valon­nopeuden avulla. Jokainen näistä kolmesta pituudesta voidaan muodostaa toisistaan kertomalla tai jakamalla muut hienorakennevakiolla $\alpha$:

$r_{e}={\alpha \lambda _{e} \over 2\pi }=\alpha ^{2}a_{0}$

Samaan tapaan kuin klassinen elektronin säde määritellään, voidaan millä tahansa massalla $m_{0}$ ajatella olevan sähkömagneettinen säde

$r={\frac {k_{C}e^{2}}{m_{0}c^{2}}}={\frac {\alpha \hbar }{m_{0}c}}$

missä $k_{C}$ on Coulombin vakio, $\alpha$ hienorakennevakio ja $\hbar$ redusoitu Planckin vakio.

Lähteet

• CODATA-arvo klassiselle elektronin säteelle (NIST
• Arthur N. Cox, Ed. "Allen's Astrophysical Quantities", 4. painos, Springer, 1999.