Keskustelu:Ortokeskus

Muille kolmion merkillisille pisteille täällä on ilmoitettu myös niiden karteesisten koordinaattien lausekkeet kolmion kärkipisteiden koordinaattien avulla ilmaistuna. Tästä artikkelista se puuttuu, eikä sitä ole myöskään engl. Wikipedian vastaavassa artikkelissa, enkä onnistunut löytämään sitä muualtakaan verkosta. Lauseke on kuitenkin johdettavissa vaikkapa käyttämällä hyväksi sitä tietoa, että korkeusjanojen leikkauspiste sijaitsee Eulerin suoralla, toisella puolella keskijanojen leikkauspistettä kuin kolmion keskinormaalien leikkauspiste ja kaksinkertaisella etäisyydellä. Jos siis merkitään keskijanojen leikkauspisteen paikkavektoria G:llä ja keskinormaalien leikkauspisteen paikkavektoria O:lla (kuten ainakin Eulerin suora-artikkeliin linkitetyllä sivulla, [1], saadaan ortokeskuksen paikkavektorille lauseke H = 3 G - 2 O. Koska molempien jälkimmäisten koordinaateille on johdettu lausekkeet, sain käsittääkseni niiden avulla johdetuksi lauseke myös korkeusjanojen leikkauspisteen koordinaateille, joskin tämä oli jo algebrallisesti työlästä ja saadut lausekkeet monimutkaisia, ja sen vuoksi huolimattomuusvirheenkin vaara suuri. Johtamani koordinaatit ovat:

• $x_{h}={\frac {x_{1}x_{2}(y_{2}-y_{1})+x_{2}x_{3}(y_{3}-y_{2})+x_{3}x_{1}(y_{1}-y_{3})+y_{1}^{2}(y_{3}-y_{2})+y_{2}^{2}(y_{1}-y_{3})+y_{3}^{2}(y_{2}-y_{1})}{x_{1}y_{2}+x_{2}y_{3}+x_{3}y_{1}-x_{2}y_{1}-x_{3}y_{2}-x_{1}y_{3}}}$
• $y_{h}={\frac {y_{1}y_{2}(x_{1}-y_{2})+y_{2}y_{3}(x_{2}-x_{3})+y_{3}y_{1}(x_{3}-y_{1})+x_{1}^{2}(x_{2}-x_{3})+x_{2}^{2}(x_{3}-x_{1})+x_{3}^{2}(x_{1}-x_{2})}{x_{1}y_{2}+x_{2}y_{3}+x_{3}y_{1}-x_{2}y_{1}-x_{3}y_{2}-x_{1}y_{3}}}$

Ainakin muutamalla esimerkkitapauksella ja sijoittamalla koordinaatit Exceliin sain jo tarkistetuksikin, että kaava pätee ainakin näissä tapauksissa.

Vaikka näille ei löytynyt valmista lähdettä, voinko kuitenkin lisätä nämä artikkeliin vai olisiko se täällä kiellettyä uutta tutkimusta? -KLS (keskustelu) 27. huhtikuuta 2013 kello 14.34 (EEST)

Eipä varsinaisesti ole. Matematiikassa ei ole uutta tutkimusta, koska asiat voidaan todistaa aukottomasti. Tämä ei ole toisaalta aukoton todistelu, mutta jos sinulla on excelin kaavat vielä talletta, voisit katsoa pari patologista tilannetta. Ortokeskushan voi olla kolmion ulkopuolella, jolloin lukujen etumerkit voivat vaikuttaa kaavan tulokseen. Jos siitä ei ole liikaa lisävaivaa, voisitko testata sellaisen tilanteen? Mutta, koska lähteitä ei ole, on tällaisen tiedon laittaminen wikipediaan hiukan "matalaotsaista" ilman TODISTUSTA (matematiikkaa kun se on...). Todistus voisi olla viitteellinen, jotta sitä voisi harjaantunut lukija lukiotaidoillaan seurata, halutessaan. Olen tätä mieltä. --Jari Hokkanen (keskustelu) 28. huhtikuuta 2013 kello 11.45 (EEST)

Olinkin kokeillut asiaa myös sellaisilla tapauksilla, ja näyttäisi pätevän. Lisäsin lausekkeet artikkeliin. -KLS (keskustelu) 29. huhtikuuta 2013 kello 17.37 (EEST)

Miksi et kirjoittanut asiasta ensiksi julkaisua ja sitten viitannut siihen? Julkaisussa olisit saanut varmistuksen sille, onko lasku oikein ja onko tulos ylipäätään niin merkittävä, että se kannattaa julkaista. Aika oudolta tuntuu, että jollain voisi olla erityisvapauksia uuden tutkimuksen suhteen. Minusta uudet tulokset pitäisi aina olla julkaistu ja vertaisarvioitu muualla. --85.76.105.202 15. joulukuuta 2014 kello 13.21 (EET)

Päteekö tämä?

Ortokeskus jakaa korkeusjanat kahdeksi janaksi, joiden pituudet ovat $m_{1}$ ja $n_{1}$. Jos edellistet arvot saatiin kärjestä 1 piirretystä korkeusjanasta, päteekö seuraava myös muihin korkeusjanoihin: ${\sqrt {m_{1}\cdot n_{1}}}={\sqrt {m_{2}\cdot n_{2}}}={\sqrt {m_{3}\cdot n_{3}}}$? Lähdettä ei ole (vielä).--J Hokkanen (keskustelu) 1. toukokuuta 2021 kello 14.35 (EEST)

@Mtlehtin: -Ochs (keskustelu) 1. toukokuuta 2021 kello 15.48 (EEST)

Tieto löytyy (ilman neliöjuuria, niillähän ei ole tässä merkitystä) en-wikin tästä kohdasta ja sille on annettu kaksi lähdettä, joihin ei tosin pääse käsiksi. -Ochs (keskustelu) 1. toukokuuta 2021 kello 16.11 (EEST)

Neliöjuurella se voisi tarkoittaa keskivertoa eli geometrista keskiarvoa...--J Hokkanen (keskustelu) 1. toukokuuta 2021 kello 20.32 (EEST)

Tämä käynee lähteeksi. -Ochs (keskustelu) 1. toukokuuta 2021 kello 16.16 (EEST)

Kiitos. Tämä sattui Instassa silmään, ja ihmettelin vain syytä moiseen. Wolframissa on siitä geometrinen selitys.--J Hokkanen (keskustelu) 1. toukokuuta 2021 kello 20.32 (EEST)