Käänteislukufunktio

Funktion y = 1/x kuvaaja arvoille, jolloin x ei ole 0. Kuvaaja on hyperbeli. Sen jokaisen pisteen (x,y) koordinaatit x ja y ovat toistensa käänteislukuja.

Käänteislukufunktion arvot muodostetaan ottamalla annetun luvun käänteisluku. Koska nollan käänteislukua ei ole olemassa, saadaan reaalilukufunktion muodolliseksi määritelmäksi

$f\colon x\mapsto {\frac {1}{x}}\qquad x\neq 0\qquad x\in \mathbb {R} .$

Kuvaus voidaan suorittaa kaikilla reaaliluvuilla paitsi nollalla. Koulumatematiikassa sama ilmaistaan useimmiten

$f(x)={\frac {1}{x}}\qquad x\in \mathbb {R} \smallsetminus \{0\}.$

Määrittelyjoukko on siis kaikki reaaliluvut paitsi nolla. Funktio voidaan määritellä myös muilla lukualueilla ja niistä tarkemmin myöhemmin.

Käänteislukufunktio on erikoistapaus potenssifunktioista, jossa (kun $a=1$ ja $r=-1$)

$f(x)=ax^{r}=1x^{-1}=x^{-1}={\frac {1}{x}}.$

Käänteislukufunktion arvon määrittäminen

Kokonais- ja rationaaliluku

Kokonaisluvun käänteisluku on yksikkömurtoluku. Se on rationaali- eli murtoluvun käänteisluvun erikoistapaus. Kokonaisluvun $a$ ja murtoluvun ${\tfrac {m}{n}}$ käänteisluku lasketaan käyttäen kokonais- ja murtolukujen jakolaskun ominaisuuksia hyväksi:

$f(a)=1\div a={\frac {1}{a}}$

ja

$f({\tfrac {m}{n}})={\frac {1}{\tfrac {m}{n}}}=1\div {\tfrac {m}{n}}=1\cdot {\tfrac {n}{m}}={\tfrac {n}{m}}$

Reaaliluku

Yleisesti ottaen reaaliluvun käänteisluvun laskeminen ei ole helppo tehtävä. Se voidaan aina merkitä lausekeella ${\tfrac {1}{a}}$, mutta sen numeerisen arvon laskemieen esimerkiksi laskimessa tarvitaan iteroiva algoritmi.

Pääartikkeli: Käänteisluku#Reaaliluvut

Kompleksiluku

Kompleksiluvun $z=a+bi$ käänteisluvun laskemiseen käytetään kompleksilukujen $z_{1}$ ja $z_{2}$ jakolaskun ominaisuuksia:

${z_{1} \over z_{2}}={z_{1}{\bar {z_{2}}} \over \ z_{2}{\bar {z_{2}}}}={z_{1}{\bar {z_{2}}} \over |z_{2}|^{2}}$

Kun $z_{1}=1$ ja $z_{2}=z$ saadaan

$f(z)={1 \over z}={1\cdot {\bar {z}} \over \ z\cdot {\bar {z}}}={{\bar {z}} \over |z|^{2}},$

missä ${\bar {z}}=a-bi$ on luvun $z$ liittoluku eli konjugaattiluku. Tulos voidaan ilmaista myös kompleksiluvun reaali- ja imaginaariosan avulla:

$f(z)={1 \over z}={{\bar {z}} \over |z|^{2}}={{a-bi} \over {a^{2}+b^{2}}}={{a \over {a^{2}+b^{2}}}-{b \over {a^{2}+b^{2}}}i}.$

Jos reaali- ja imaginaariosat ovat reaalilukuja, käänteisluvun numeerinen arvo lasketaan reaalilukujen tapaan.

Yleisiä ominaisuuksia

Monotonisuus ja nollakohdat

Derivaattafunktion merkistä voi päätellä, että käänteislukufunktio on monotoninen ja vieläpä aidosti vähenevä välillä, joka mahtuu määrittelyjoukoonsa. Funktiolla $f(x)={\tfrac {1}{x}}$ ei ole nollakohtia.

Symmetrisyys ja parittomuus

Käänteislukufunktiolla on potenssiesityksessä pariton eksponentti

$f(x)={\tfrac {1}{x}}=x^{-1},$

joten se kuuluu parittomiin funktioihin. Parittomalle funktiolla vastaluvut antavat tulokseksi vastaluvut

$f(-a)=-f(a).$

Kuvaajat ovatkin origosymmetrisiä eli funktion kuvaajan jokaiselle pisteelle löytyy yhtä kaukana origon takana toinen funktion kuvaajan vastinpiste.

Derivaatta ja integraali

Reaalifunktion derivaattafunktio on

$D{\frac {1}{x}}=Dx^{-1}=-1x^{-2}=-{\frac {1}{x^{2}}},\quad x\neq 0$

ja integraalifunktio

$\int {\frac {1}{x}}\;dx=\ln {|x|}+C,$

kun $x\neq 0$ ja $C\in \mathbb {R} .$

Raja-arvot

Reaalifunktion arvot pienenevät, kun arvot kasvavat. Funktion raja-arvot ovat

$\lim _{x\to \infty }{\frac {1}{x}}=0{\mbox{ ja }}\lim _{x\to -\infty }{\frac {1}{x}}=0.$

Funktion epäoleelliset toispuoliset raja-arvot, kun lähestytään nollaa oikealta, on

$\lim _{x\to 0+}{\frac {1}{x}}=\infty$

ja kun lähestytään nollaa vasemmalta on

$\lim _{x\to 0-}{\frac {1}{x}}=-\infty .$

Katso myös

• Kääntäen verrannollisuus
• Hyperbeli