Jatkuvien funktioiden väliarvolause

Jatkuvien funktioiden väliarvolause. Huomaa, että kuvassa c ei ole sup S, vaan kuvaa yleistä tapausta (jollakin c pätee f(c) = u).

Jatkuvien funktioiden väliarvolause on tärkeä lause analyysissa. Bolzanon lause on sen erikoistapaus.

Lause kuuluu seuraavasti: olkoon $f\colon [a,b]\to \mathbb {R}$ jatkuva funktio suljetulta väliltä $[a,b]$ reaalilukujen joukolle $\mathbb {R}$. Olkoon $u$ reaaliluku, joka toteuttaa ehdon $f(a)<u<f(b)$ tai $f(a)>u>f(b)$. Tällöin (avoimen) välin $(a,b)$ jollekin pisteelle $c$ pätee $f(c)=u$.

Jatkuvien funktioiden väliarvolause on intuitiivisesti itsestäänselvyys: jos esimerkiksi f on jatkuva funktio välillä [1, 2] ja sen arvot välin päätepisteissä ovat f(1) = 3 ja f(2) = 5, on f:n arvo 4 jossakin pisteiden 1 ja 2 välissä. Lauseen idea on yksinkertaisesti se, että jatkuva funktio voidaan piirtää nostamatta kynää paperista: jotta funktio voisi olla jatkuva, sen tulee yhdistää katkeamatta suorat y = 3 ja y = 5, jolloin sen on leikattava ainakin kerran suora y = 4.

Lause esitetään usein myös seuraavasti: jos jatkuvan funktion arvot suljetun välin päätepisteissä ovat erimerkkiset, on funktiolla tällä välillä ainakin yksi nollakohta. Tämä vastaa tapausta u = 0, ja sitä kutsutaan usein Bolzanon lauseeksi. Lause on nimetty matemaatikko Bernard Bolzanon mukaan. Toisaalta Bolzanon lauseella voidaan todistaa jatkuvien funktioiden väliarvolause tutkimalla funktiota $g(x)=f(x)-u$, jolloin $g(a)=f(a)-u<0$ ja $g(b)=f(b)-u>0$. Tällöin Bolzanon lauseen nojalla on olemassa $c\in (a,b)$, jolla $g(c)=0\iff f(c)-u=0\iff f(c)=u$.

Todistus

Todistetaan ensimmäinen tapaus f (a) < u < f (b). Tapauksen f (b) < u < f (a) todistus on samankaltainen tai voidaan palauttaa edelliseen tarkastelemalla funktiota g (x) = -f(x).

Olkoon S niiden välin [a, b] pisteiden joukko, joissa funktion arvo f(x) on pienempi tai yhtä suuri kuin u eli S = {x $\in$ [a, b] : f(x) ≤ u}. Tällöin S on epätyhjä (koska a kuuluu siihen, f(a) < u) ja ylhäältä rajoitettu ylärajan ollessa b. Reaalilukujen täydellisyysaksiooman nojalla joukolla S on olemassa supremum eli pienin yläraja c = sup S. Väite: f (c) = u.

Oletetaan ensin, että f(c) > u. Silloin f(c) - u > 0. Koska funktio f on jatkuva eli $\lim _{x\to \ c}f(x)=f(c)$, on funktion raja-arvon määritelmän perusteella olemassa δ > 0 siten että | f(x) - f(c) | < f(c) - u aina kun | x - c | < δ. Mutta silloin voidaan ratkaista -( f(c ) - u) < f(x) - f(c) < f(c) - u eli f(x) > f(c) - ( f(c) - u ) = u aina kun | x - c | < δ, siis f (x) > u kaikille x $\in$ ( c - δ, c + δ). Siten c - δ on joukon S yläraja, joka on pienempi kuin c, ristiriita (c ei nyt voi olla joukon S pienin yläraja).

Oletetaan seuraavaksi, että f(c) < u. Nyt u - f(c) > 0 ja jatkuvuuden nojalla on olemassa δ > 0 siten, että | f(x) - f(c) | < u - f(c) aina kun | x - c | < δ. Silloin -(u - f(c)) < f(x) - f(c) < u - f(c) eli f(x) < f(c) + (u - f (c)) = u kaikille x $\in$ ( c - δ, c + δ). Siten on olemassa x > c, jolle f(x) < u, taas ristiriita c:n määritelmän kanssa (c ei nyt voikaan olla joukon S yläraja).

Koska ei voi olla f(c) < u eikä f(c) > u, tulee olla f(c) = u. □

Bolzanon lauseen todistus vastaoletuksella

Lemma

Jos funktio $f$ on jatkuva pisteessä $x_{0}$ ja $f(x_{0})>0$, niin on olemassa $\delta >0$ siten, että $f(x)>0$, kun $|x-x_{0}|<\delta$.

Jos funktio $f$ on jatkuva pisteessä $x_{0}$ ja $f(x_{0})<0$, niin on olemassa $\delta >0$ siten, että $f(x)<0$, kun $|x-x_{0}|<\delta$.

Lemman todistus

Todistetaan tapaus $f(x_{0})>0$. Tapaus $f(x_{0})<0$ todistetaan vastaavalla tavalla tutkimalla funktiota $-f$.

Koska $f$ on jatkuva pisteessä $x_{0}$ ja $f(x_{0})>0$, niin on olemassa $\delta >0$ siten, että

$|f(x)-f(x_{0})|<{\frac {f(x_{0})}{2}},$

kun

$|x-x_{0}|<\delta .$

Tällöin

$-{\frac {f(x_{0})}{2}}<f(x)-f(x_{0})<{\frac {f(x_{0})}{2}},$

joten

$f(x_{0})-{\frac {f(x_{0})}{2}}<f(x),$

kun

$|x-x_{0}|<\delta .$

Täten

$0<{\frac {f(x_{0})}{2}}<f(x),$

kun

$|x-x_{0}|<\delta .\ \square$

Olkoot $a<b$, $f(a)<0$ ja $f(b)>0$. Tapaus, jossa $f(a)>0$ ja $f(b)<0$, todistetaan vastaavalla tavalla tutkimalla funktiota $-f$.

Olkoon joukko $J=\{x\in [a,b]\mid f(x)<0\}$. Koska $a\in J$, niin $J\neq \emptyset$. Koska $J\neq \emptyset$ ja $J$ on ylhäältä rajoitettu, niin on olemassa $\sup J$. Koska $f$ on jatkuva välillä $[a,b]$ ja $f(a)<0$, niin lemman nojalla on olemassa $\delta _{1}>0$ siten, että $a+\delta _{1}<b$ ja $f(x)<0$, kun $a\leq x<a+\delta _{1}$. Koska $f$ on jatkuva välillä $[a,b]$ ja $f(b)>0$, niin lemman nojalla on olemassa $\delta _{2}>0$ siten, että $a+\delta _{1}<b-\delta _{2}$ ja $f(x)>0$, kun $b-\delta _{2}<x\leq b$. Täten $a<\sup J<b$. Olkoon $s=\sup J$.

Väite: $f(s)=0$.

Tehdään vastaoletus: $f(s)\neq 0$.

Koska $f$ on jatkuva välillä $[a,b]$, niin lemman nojalla on olemassa $\delta >0$ siten, että $(s-\delta ,s+\delta )\subset (a,b)$ ja joko $f(x)>0$ tai $f(x)<0$, kun $x\in (s-\delta ,s+\delta )$.

Jos $f(x)>0$, kun $x\in (s-\delta ,s+d)$, niin $s-{\frac {\delta }{2}}\in (a,b)$ on joukon $J$ yläraja. Tällöin $s$ ei ole joukon $J$ pienin yläraja. Jos $f(x)<0$, kun $x\in (s-\delta ,s+d)$, niin $s$ ei ole joukon $J$ yläraja.

Ollaan päädytty ristiriitaan sen kanssa, että $f(s)\neq 0$. Täten alkuperäinen väite pätee eli $f(s)=0$ pätee.

Siis todistettin, että jos $f$ on jatkuva funktio välillä $[a,b]$, $f(a)<0$ ja $f(b)>0$, niin on olemassa $s\in (a,b)$ siten, että $f(s)=0$. $\square$

Kirjallisuutta

• Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki: Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-6 (pdf).

Aiheesta muualla

• Intermediate value Theorem – Bolzano Theorem