Isogonaalinen konjugaatti

Pisteen P isogonaalinen konjugaatti P^*.

Isogonaalinen konjugaatti $\scriptstyle X^{-1}$ on tason piste kolmiossa olevalle pisteelle $\scriptstyle X$, joka voidaan muodostaa peilaamalla kolmion kulmanjakajat kulmissa olevien kulmanpuolittajien suhteen. Silloin peilatut janat leikkaavat toisensa isogonaalisessa pisteessä $\scriptstyle X^{-1}$. Peilattuja janoja voidaan kutsua isogonaalisiksi janoiksi. Pisteelle on käytössä myös merkinnät $\scriptstyle X^{*}$ ja $\scriptstyle X'$.

Sijainti kolmiossa

Trilineaariset koordinaatit

Isogonaalisten pisteiden trilineaariset koordinaatit ovat toistensa käänteislukuja. Jos merkitään pisteen koordinaatit

$P=x:y:z$,

ovat tämän isogonaalisen konjugaatin koordinaatit

$P^{-1}=x^{-1}:y^{-1}:z^{-1}$.

Tästä on merkinnän negatiivinen yläindeksi peräisin. Toisaalta myös

$(P^{-1})^{-1}=(x^{-1})^{-1}:(y^{-1})^{-1}:(z^{-1})^{-1}=x:y:z=P$,

jolloin trilineaaristen koordinaattien perusteella voidaan ajatella pisteiden $\scriptstyle P$ ja $\scriptstyle P^{-1}$ olevan toistensa isogonaalisia pisteitä.

Barysentriset koordinaatit

Isogonaalisten pisteiden barysentriset koordinaatit saadaan vastaavasti, kun on

$P=x:y:z$

ja isogonaaliset koordinaatit ovat

$P^{-1}=a^{2}yz:b^{2}xz:c^{2}xy$,

missä $a,\,b\,ja\,c$ ovat kolmion sivujen pituuksia.

Esimerkkejä

Seuraavat esimerkit merkillisistä pisteistä ovat toistensa isogonaalisia konjugaatteeja:

• kolmion sisään piirretyn ympyrän keskipiste ($\scriptstyle I=X_{1}$) itsensä kanssa ($\scriptstyle X_{1}$)
• kolmion ympäri piiretyn ympyrän keskipiste ($\scriptstyle O=X_{3}$) ja ortokeskus ($\scriptstyle H=X_{4}$)
• symmediaaninen piste ($\scriptstyle K=X_{6}$) ja kolmion painopiste ($\scriptstyle G=X_{2}$)
• Gergonnen piste ($\scriptstyle Ge=X_{7}$) ja piste $\scriptstyle X_{55}$
• ensimmäinen Napoleonin piste ($\scriptstyle N_{1}=X_{17}$) ja piste $\scriptstyle X_{61}$
• toinen Napoleonin piste ($\scriptstyle N_{2}=X_{18}$) ja piste $\scriptstyle X_{62}$
• Nagelin piste ($\scriptstyle Na=X_{8}$) ja piste $\scriptstyle X_{56}$
• ensimmäinen Fermat'n piste ($\scriptstyle F_{1}=X_{13}$) ja ensimmäinen isodynaaminen piste ($\scriptstyle X_{15}$)

Todistus

Todistetaan isogonaalisen konjugaatin $\scriptstyle P^{-1}$ olemassaolo jokaiselle kolmion sisäpisteelle $\scriptstyle P$, joka on kolmen kulmanjakajan AA', BB' ja CC' leikkauspisteessä. Isogonaaliset janat merkitään AA", BB" ja CC". Lausekkeet seuraavat oheisen kuvan merkintöjä, jossa suunnattujen janojen positiivinen suunta on vastapäivään eli A → B → C → A. Koska $\scriptstyle P$ on janojen leikkauspiste, seuraa Cevan lauseesta

${\frac {AC'}{C'B}}\cdot {\frac {BA'}{A'C}}\cdot {\frac {CB'}{B'A}}=1.$

Janat sinilausekkeiksi

Sinilauseen avulla voidaan kolmiosta $\scriptstyle \triangle AC\,'C$ kirjoittaa Cevan lauseen ensimmäisen osamäärän osoittaja (janat positiivisesti suunnattuina)

${\frac {AC'}{\sin \measuredangle ACC'}}={\frac {CA}{\sin \measuredangle CC'A}}\Leftrightarrow AC'={\frac {CA\sin \measuredangle ACC'}{\sin \measuredangle CC'A}}$

ja kolmiosta $\scriptstyle \triangle C\,'BC$ ensimmäisen osamäärän nimittäjä

${\frac {C'B}{\sin \measuredangle C'CB}}={\frac {BC}{\sin \measuredangle BC'C}}\Leftrightarrow C'B={\frac {BC\sin \measuredangle C'CB}{\sin \measuredangle BC'C}}.$

Koska kulmat $\scriptstyle \measuredangle CC'A$ ja $\scriptstyle \measuredangle BC'C$ ovat vieruskulmia (supplementtikulmat), joiden sinit ovat aina identtiset eli $\scriptstyle \sin \measuredangle CC'A=\sin \measuredangle BC'C$, saadaan Cevan lauseen ensimmäisestä osamäärästä

${\frac {AC'}{C'B}}={\frac {\frac {CA\sin \measuredangle ACC'}{\sin \measuredangle CC'A}}{\frac {BC\sin \measuredangle C'CB}{\sin \measuredangle BC'C}}}={\frac {\frac {CA\sin \measuredangle ACC'}{\cancel {\sin \measuredangle CC'A}}}{\frac {BC\sin \measuredangle C'CB}{\cancel {\sin \measuredangle BC'C}}}}={\frac {CA\sin \measuredangle ACC'}{BC\sin \measuredangle C'CB}}.$

Vastaavalla tavalla sievennetään kaksi muutakin Cevan lauseen osamäärää

${\frac {BA'}{A'C}}={\frac {AB\sin \measuredangle BAA'}{CA\sin \measuredangle A'AC}}$

ja

${\frac {CB'}{B'A}}={\frac {BC\sin \measuredangle CBB'}{AB\sin \measuredangle B'BA}}$

ja sijoitetaan tulokset Cevan lauseeseen ja supistetaan

${\frac {AC'}{C'B}}\cdot {\frac {BA'}{A'C}}\cdot {\frac {CB'}{B'A}}=1\Leftrightarrow {\frac {{\cancel {CA}}\sin \measuredangle ACC'}{{\cancel {BC}}\sin \measuredangle C'CB}}\cdot {\frac {{\cancel {AB}}\sin \measuredangle BAA'}{{\cancel {CA}}\sin \measuredangle A'AC}}\cdot {\frac {{\cancel {BC}}\sin \measuredangle CBB'}{{\cancel {AB}}\sin \measuredangle B'BA}}=1\Leftrightarrow$

eli

${\frac {\sin \measuredangle ACC'}{\sin \measuredangle C'CB}}\cdot {\frac {\sin \measuredangle BAA'}{\sin \measuredangle A'AC}}\cdot {\frac {\sin \measuredangle CBB'}{\sin \measuredangle B'BA}}=1.$

Sinilausekkeet isogonaalisiksi janoiksi

Jotta janat AA", BB" ja CC" leikkaisivat isogonaalisessa pisteessä $\scriptstyle P^{-1}$, tulisi Cevan lauseen ehdot toteutua

${\frac {AC''}{C''B}}\cdot {\frac {BA''}{A''C}}\cdot {\frac {CB''}{B''A}}=1.$

Muodostetaan aluksi ensimmäisen osamäärän osoittaja ja nimittäjä, jotka sievennetään edelliseen tapaan. Sinilauseesta seuraa

${\frac {AC''}{\sin \measuredangle ACC''}}={\frac {CA}{\sin \measuredangle CC''A}}\Leftrightarrow AC''={\frac {CA\sin \measuredangle ACC''}{\sin \measuredangle CC''A}}$

ja

$C''B={\frac {BC\sin \measuredangle C''CB}{\sin \measuredangle BC''C}}.$

Nyt voidaan ensimmäinen osamäärä muodostaa ja supistaa

${\frac {AC''}{C''B}}={\frac {\frac {CA\sin \measuredangle ACC''}{\sin \measuredangle CC''A}}{\frac {BC\sin \measuredangle C''CB}{\sin \measuredangle BC''C}}}={\frac {\frac {CA\sin \measuredangle ACC''}{\cancel {\sin \measuredangle CC''A}}}{\frac {BC\sin \measuredangle C''CB}{\cancel {\sin \measuredangle BC''C}}}}={\frac {CA\sin \measuredangle ACC''}{BC\sin \measuredangle C''CB}}.$

Lauseke muodostuu analogisesti samanmuotoiseksi kuin alussakin. Isogonisilla janoilla on samansuuruisia kulmia, kuten esimerkiksi $\scriptstyle \measuredangle ACC'=\measuredangle C''CB$ ja $\scriptstyle \measuredangle C'CB=\measuredangle ACC'',$ jolloin

${\frac {AC''}{C''B}}={\frac {CA\sin \measuredangle ACC''}{BC\sin \measuredangle C''CB}}\Leftrightarrow {\frac {AC''\cdot BC}{C''B\cdot CA}}={\frac {\sin \measuredangle ACC''}{\sin \measuredangle C''CB}}\Leftrightarrow {\frac {AC''\cdot BC}{C''B\cdot CA}}={\frac {\sin \measuredangle C'CB}{\sin \measuredangle ACC'}}.$

Kun tätä verrataan Cevan lauseen yhtälöön (1), huomataan samat kulmat sen ensimmäisessä osamäärässä. Kannattaa siis muodostaa muutkin osamäärät, vaihtaa kulmat ($\scriptstyle \measuredangle BAA'=\measuredangle A''AC$ ja $\scriptstyle \measuredangle A'AC=\measuredangle BAA''$ sekä $\scriptstyle \measuredangle CBB'=\measuredangle B''BA$ ja $\scriptstyle \measuredangle B'BA=\measuredangle CBB''$ ) ja sijoittaa yhtälöön janoja esittävät lausekkeet, jolloin tulos saadaan supistamalla. Muut osamäärät ja kulmanvaihdot saadaan analogisesti:

${\frac {BA''}{A''C}}={\frac {AB\sin \measuredangle BAA''}{AC\sin \measuredangle A''AC}}\Leftrightarrow {\frac {BA''\cdot CA}{A''C\cdot AB}}={\frac {\sin \measuredangle A'AC}{\sin \measuredangle BAA'}}.$

ja

${\frac {CB''}{B''A}}={\frac {BC\sin \measuredangle CBB''}{AB\sin \measuredangle B''BA}}\Leftrightarrow {\frac {CB''\cdot AB}{B''A\cdot BC}}={\frac {\sin \measuredangle B'BA}{\sin \measuredangle CBB'}}.$

Sijoitus Cevan yhtälöön

${\frac {\sin \measuredangle ACC'}{\sin \measuredangle C'CB}}\cdot {\frac {\sin \measuredangle BAA'}{\sin \measuredangle A'AC}}\cdot {\frac {\sin \measuredangle CBB'}{\sin \measuredangle B'BA}}=1\Leftrightarrow {\frac {C''B\cdot CA}{AC''\cdot BC}}\cdot {\frac {A''C\cdot AB}{BA''\cdot CA}}\cdot {\frac {B''A\cdot BC}{CB''\cdot AB}}=1\Leftrightarrow$

${\frac {C''B\cdot {\cancel {CA}}}{AC''\cdot {\cancel {BC}}}}\cdot {\frac {A''C\cdot {\cancel {AB}}}{BA''\cdot {\cancel {CA}}}}\cdot {\frac {B''A\cdot {\cancel {BC}}}{CB''\cdot {\cancel {AB}}}}=1\Leftrightarrow {\frac {C''B}{AC''}}\cdot {\frac {A''C}{BA''}}\cdot {\frac {B''A}{CB''}}=1$

Tämän käänteisluku on vaadittu Cevan lauseen ehto kollineaarisuudelle ja isogonaalisen konjugaatin olemassaololle:

${\frac {AC''}{C''B}}\cdot {\frac {BA''}{A''C}}\cdot {\frac {CB''}{B''A}}=1.$

Lähteet

• Wells, David: The Penquin Dictionary of Curious and Interesting Geometry. Englanti: Penguin Group, 1991. ISBN 0-14-011813-6 (englanniksi)

Aiheesta muualla

• Abel, Zachary: Triangle Centers (tehtäviä merkillisistä pisteistä)
• Abel, Zachary: Mean Geometry
• Ballew, Pat: Isogons and Isogonic Symmetry (Arkistoitu – Internet Archive)
• Royster, David C.: MA 341 – Topics in Geometry Lecture 16, University of Kentucky