Hyposykloidi

Hyposykloidi on käyrä, jonka pienempi ympyrä piirtää vieriessään isomman ympyrän sisällä.

Punainen käyrä on hyposykloidi. Pienempi musta ympyrä vierii isomman sinisen ympyrän sisällä (Kuvassa mitat ovat R=3,0, r=1,0 ja k=3).

Jos pienempi ympyrä on säteeltään r ja isompi ympyrä säteeltään R =kr, niin hyposykloidin parametriesitys on:

$x(\theta )=(R-r)\cos \theta +r\cos \left({\frac {R-r}{r}}\theta \right)$

$y(\theta )=(R-r)\sin \theta -r\sin \left({\frac {R-r}{r}}\theta \right),$

tai:

$x(\theta )=r(k-1)\cos \theta +r\cos \left((k-1)\theta \right)\,$

$y(\theta )=r(k-1)\sin \theta -r\sin \left((k-1)\theta \right).\,$

Kun k=2, käyrää kutsutaan Cardanon ympyräksi. Girolamo Cardano oli ensimmäinen joka kuvasi hyposykloidin.

Jos k on kokonaisluku, käyrä sulkeutuu kun pikkuympyrä on vierinyt isomman ympyrän sisällä yhden kierroksen.

Jos k on rationaaliluku, yksinkertaistaen k = p/q niin käyrä sisältää p kulmaa.

Jos k on irrationaaliluku, käyrä ei koskaan sulkeudu.

• Esimerkkejä hyposykloideista
• 
  k=3 - deltoidi
• 
  k=4 - astroidi
• 
  k=5
• 
  k=6
• 
  k=2.1
• 
  k=3.8
• 
  k=5.5
• 
  k=7.2

Hyposykloidi on hypotrokoidin erikoistapaus.

Kolmikulmainen hyposykloidi on nimeltään deltoidi.

Hyposykloidi voidaan piirtään myös spirografilla (lelu). Spirografi voi piirtää myös hypotrokoideja sekä epitrokoideja.

Nelikulmainen hyposykloidi on nimeltään astroidi. Amerikkalaista jalkapalloa pelaavan Pittsburgh Steelersin logo sisältää kolme astroidia. Portlandin kaupungin lippu sisältää astroidin.

Katso myös

• Erikoistapaukset: Astroidi, Deltoidi
• Vierintäkäyrä
• Sykloidi
• Episykloidi
• Hypotrokoidi
• Epitrokoidi
• Spirografi

Aiheesta muualla

• MathWorld: Hypocycloid (englanniksi)
• City of Portland Flag (englanniksi)
• A free Javascript tool for generating Hypocyloid curves (Arkistoitu – Internet Archive) (englanniksi)