Hypergeometrinen sarja

Hypergeometrinen sarja on potenssisarja, jonka peräkkäisten kertoimien suhde on rationaalifunktio. Jos sarja suppenee, sen summaa kutsutaan hypergeometriseksi funktioksi. Hypergeometriset funktiot ovat monia funktioluokkia yhdistävä konsepti: muun muassa gammafunktio, virhefunktio, Besselin funktiot ja ortogonaaliset polynomit ovat niiden erikoistapauksia.

Tavallisin hypergeometrinen funktio on ${}_{2}F_{1}$, joka määritellään hypergeometrisena sarjana

$\,_{2}F_{1}(a,b;c;x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a)_{n}(b)_{n}}{(c)_{n}}}\,{\frac {x^{n}}{n!}}$

eli aukikirjoitettuna

$\,_{2}F_{1}(a,b;c;x)=1+{\frac {a\cdot b}{1\cdot c}}x+{\frac {a(a+1)b(b+1)}{1\cdot 2c(c+1)}}x^{2}+{\frac {a(a+1)(a+2)b(b+1)(b+2)}{1\cdot 2\cdot 3c(c+1)(c+2)}}x^{3}+\ldots$,

mikä suppenee välillä $-1<x<1$, jos a, b ja c ovat reaalisia ja jos $c-(a+b)>-1$. Ylempänä olevassa summamerkinnässä esiintyvä lyhennysmerkintä (k)_n= k(k+1)(k+2)...(k+n-1) on Pochhammerin symboli. Hypergeometrinen funktio $y(x)=\,_{2}F_{1}(a,b;c;x)$ toteuttaa hypergeometrisen differentiaaliyhtälön

$x(x-1){\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+[c-(a+b+1)x]{\frac {dy}{dx}}-aby=0$.

Tämä on hyvin yleinen tapaus 2. kertaluvun differentiaaliyhtälöstä ja asettamalla parametrien arvoja sopivasti, tästä yhtälöstä saadaan erikoistapauksina monet "tavallisemmat" differentiaaliyhtälöt.