Homomorfialause

Homomorfialause eli homomorfismien peruslause on hyvin yleinen algebrallisten systeemien rakennelause. Se takaa, että homomorfismin $f$ kuva on isomorfinen $f$ :n ytimen sivuluokkien muodostaman rakenteen kanssa.

Homomorfialauseesta on olemassa oma versionsa mm. ryhmille, renkaille ja hiloille. Kuntien tapauksessa homomorfialause on triviaali, sillä jokainen kuntahomomorfismi on injektio ja indusoi siten isomorfismin.

Ryhmien homomorfialause

Ryhmien tapauksessa homomorfialause kuuluu seuraavasti: Olkoot $G$ ja $G'$ ryhmiä, $f$ homomorfismi näiden välillä ja $K$ $f$ :n ydin. Tällöin tekijäryhmä $G/K$ on isomorfinen $f$ :n kuvan kanssa. Tämä isomorfismi on kuvaus $F:G/K\to {\textrm {Im}}(f)$ , $F(a\cdot K)=f(a)$ .

Lauseen todistuksessa tutkitaan ensin, että $F$ on hyvinmääritelty ja osoitetaan se sitten isomorfismiksi toteamalla se homomorfismiksi, injektioksi ja surjektioksi. Osoitetaan nyt $F$ hyvinmääritellyksi. Jos $a$ :n ja $b$ :n määräämät sivuluokat ovat samat, niin $a\in bK$ eli $a=bk$ , missä $k$ on ytimen alkio. Nyt $F(aK)=f(a)=f(bk)=f(b)f(k)=f(b)\cdot 1=f(b)=F(bK)$ , eli $F$ on hyvinmääritelty. Näytetään sitten, että $F$ on isomorfismi. $F$ on homomorfismi, sillä kun $a$ :n ja $b$ :n määräämät sivuluokat kuuluvat tekijäryhmään $G/K$ , niin $F(aK\cdot bK)=F(abK)=f(ab)=f(a)f(b)=F(aK)F(bK)$ . Homomorfismi ryhmien välillä on injektio silloin ja vain silloin, kun $K=\{1\}$ . Jos $F(aK)=1$ , niin $f(a)=1$ eli $a\in K$ . Silloin $aK=K=$ ryhmän ykkösalkio eli $F$ on injektio. $F$ on surjektiivinen, sillä kun $a$ käy läpi koko $G$ :n niin $f(a)$ käy läpi koko $G$ :n kuvan. Siis $F$ on isomorfismi.