Lebesguen differentioituvuuslause

Matematiikassa Lebesguen differentioituvuuslause on reaalianalyysin lause, jonka mukaan integroituvan funktion arvo voidaan laskea melkein kaikkialla laskemalla sen infinitesimaalisten keskiarvojen raja-arvo. Lause on nimetty Henri Lebesguen mukaan.

Väite

Jos f on reaali- tai kompleksiarvoinen funktio, niin infinitesimaalinen integraali on funktio, joka kuvaa mitallisen joukon A  funktion $f\cdot \mathbf {1} _{A}$ Lebesguen integraalille, missä $\mathbf {1} _{A}$ on joukon A indikaattorifunktio. Tämä kirjoitetaan usein muodossa.

$\int _{A}f\ \mathrm {d} \lambda ,$

missä λ on n-ulotteinen Lebesguen mitta.

Tämän integraalin derivaatta kohdassa x on määritelmän perusteella

$\lim _{B\rightarrow x}{\frac {1}{|B|}}\int _{B}f\,\mathrm {d} \lambda ,$

missä |B| on x-keskisen pallon B tilavuus eli Lebesguen mitta. Lisäksi B → x tarkoittaa, että pallon säde lähestyy nollaa.

Lebesguen differentioituvuuslause sanoo, että yllä oleva derivaatta on olemassa ja sen arvo on f(x) melkein jokaisessa pisteessä x ∈ Rⁿ. Niitä pisteitä x, joissa yhtäsuuruus on voimassa, sanotaan Lebesguen pisteiksi.