Goldbachin heikko konjektuuri

Goldbachin heikko konjektuuri on matematiikan avoin ongelma, jonka mukaan jokainen lukua $\scriptstyle 7$ suurempi pariton kokonaisluku $\scriptstyle n$ on kolmen alkuluvun summa. Otaksuma tunnetaan myös nimillä pariton Goldbachin konjektuuri ja kolmen alkuluvun ongelma.

Edistyminen

1923: Hardy ja Littlewood todistivat, että yleistetystä Riemannin hypoteesista seuraa Goldbachin heikko otaksuma kaikille riittävän suurille luvuille.^[1]

1937: Vinogradov todisti Siegelin–Walfiszin lauseen avulla otaksuman pätevän kaikille riittävän suurille luvuille ilman yleistettyä Riemannin hypoteesiä.^[2]

1956: Vinogradovin opiskelija K. Borozdkin todisti, että väite pätee kun $n>\mathrm {e} ^{\mathrm {e} ^{16{,}038}}\approx 3^{3^{15}}$ .

1997: Deshouillers, Effinger, te Riele ja Zinoviev todistivat, että yleistetystä Riemannin hypoteesista seuraa Goldbachin heikko otaksuma.^[3]

2002: Liu Ming-Chit ja Wang Tian-Ze onnistuivat todistamaan, että väite on voimassa kun $\scriptstyle n\geq e^{3100}.$ Raja on vielä liian suuri tietokoneiden läpikäytäväksi, mutta jokainen yksittäinen erikoistapaus on suuruusluokkansa puolesta tarkistettavissa.^[4]

Toukokuuhun 2012 mennessä Goldbachin heikko konjektuuri on todistettu lukuun $5{,}90698\cdot 10^{29}$ asti.^[5]

Vuosina 2012, 2013 ja 2014 H. A. Helfgott lähetti Arxiviin kolme artikkelia, jotka todistivat otaksuman.^[5]^[6]^[7]^[8]^[9] Todistus perustuu niin sanottuun major- ja minorkaariestimointiin, joka on kehitetty Hardyn–Littlewoodin ympyrämenetelmästä sekä otaksuman laskennalliseen varmistamiseen lukua $10^{27}$ pienemmille ja seitsemää suuremmille parittomille luvuille. Tämän laskennallisen osuuden hän teki yhdessä David Plattin kanssa^[10].

Parittomien lukujen esittäminen useamman alkuluvun summana

Vuonna 1995 Olivier Ramaré osoitti, että jokainen parillinen luku $n\geq 4$ on korkeintaan kuuden alkuluvun summa. Tästä seuraa, että jokainen pariton luku $n\geq 5$ on korkeintaan seitsemän alkuluvun summa.^[11]

Vuonna 1995 Leszek Kaniecki osoitti, että jokainen pariton kokonaisluku on korkeintaan viiden alkuluvun summa, kunhan Riemannin hypoteesi on voimassa. ^[12]

2012: Terence Tao todisti, että jokainen pariton positiivinen kokonaisluku on korkeintaan viiden alkuluvun summa.^[13]

Lähteet

↑ G. H. Hardy, J. E. Littlewood, "Some problems of `partitio numerorum' : III: on the expression of a number as a sum of primes," Acta Math., 44 (1923) 1–70. Reprinted in "Collected Papers of G. H. Hardy," Vol. I, pp. 561–630, Clarendon Press, Oxford, 1966.
↑ I. M. Vinogradov, "Representation of an odd number as a sum of three primes" Dokl. Akad. Nauk SSSR, 16 (1937) 179–195. Russian
↑ J. M. Deshouillers, G. Effinger, H. te Riele, D. Zinoviev, "A complete Vinogradov 3-primes theorem under the Riemann hypothesis," ERA Amer. Math. Soc., 3 (1997) 94–104.
↑ Liu Ming-Chit, Wang Tian-Ze "On the Vinogradov bound in the three primes Goldbach conjecture.", Acta Arith., 105, No.2, 133–175 (2002)
↑ ^a ^b H. A. Helfgott, Minor Arcs for Goldbach's problem, http://arxiv.org/abs/1205.5252
↑ Artem Kaznatcheev, PRIME NUMBERS: THE 271 YEAR OLD PUZZLE RESOLVED http://www.truthiscool.com/prime-numbers-the-271-year-old-puzzle-resolved (Arkistoitu – Internet Archive)
↑ Terence Taon Google+-tili https://plus.google.com/u/0/114134834346472219368/posts/8qpSYNZFbzC
↑ H. A. Helfgott, Major arcs for Goldbach's theorem, http://arxiv.org/pdf/1305.2897v1
↑ H. A. Helfgott, The ternary Goldbach conjecture is true http://arxiv.org/abs/1312.7748
↑ H. A. Helfgott, D. Platt, Numerical Verification of the Ternary Goldbach Conjecture up to 8.875e30 http://arxiv.org/abs/1305.3062
↑ Olivier Ramaré, "On Šnirel'man's constant", Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa Cl. Sci., vol. 22, no 4, 1995, p. 645–706
↑ Kaniecki, Leszek (1995). "On Šnirelman's constant under the Riemann hypothesis". Acta Arithmetica 4. pp. 361–374
↑ Terence Tao, Every odd number greater than 1 is the sum of at most five primes, http://arxiv.org/pdf/1201.6656v4

Tämä matematiikkaan liittyvä artikkeli on tynkä. Voit auttaa Wikipediaa laajentamalla artikkelia.

[1] G. H. Hardy, J. E. Littlewood, "Some problems of `partitio numerorum' : III: on the expression of a number as a sum of primes," Acta Math., 44 (1923) 1–70. Reprinted in "Collected Papers of G. H. Hardy," Vol. I, pp. 561–630, Clarendon Press, Oxford, 1966.

[2] I. M. Vinogradov, "Representation of an odd number as a sum of three primes" Dokl. Akad. Nauk SSSR, 16 (1937) 179–195. Russian

[3] J. M. Deshouillers, G. Effinger, H. te Riele, D. Zinoviev, "A complete Vinogradov 3-primes theorem under the Riemann hypothesis," ERA Amer. Math. Soc., 3 (1997) 94–104.

[4] Liu Ming-Chit, Wang Tian-Ze "On the Vinogradov bound in the three primes Goldbach conjecture.", Acta Arith., 105, No.2, 133–175 (2002)

[Helfgott_5252-5] H. A. Helfgott, Minor Arcs for Goldbach's problem, http://arxiv.org/abs/1205.5252

[6] Artem Kaznatcheev, PRIME NUMBERS: THE 271 YEAR OLD PUZZLE RESOLVED http://www.truthiscool.com/prime-numbers-the-271-year-old-puzzle-resolved (Arkistoitu – Internet Archive)

[7] Terence Taon Google+-tili https://plus.google.com/u/0/114134834346472219368/posts/8qpSYNZFbzC

[8] H. A. Helfgott, Major arcs for Goldbach's theorem, http://arxiv.org/pdf/1305.2897v1

[9] H. A. Helfgott, The ternary Goldbach conjecture is true http://arxiv.org/abs/1312.7748

[10] H. A. Helfgott, D. Platt, Numerical Verification of the Ternary Goldbach Conjecture up to 8.875e30 http://arxiv.org/abs/1305.3062

[11] Olivier Ramaré, "On Šnirel'man's constant", Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa Cl. Sci., vol. 22, no 4, 1995, p. 645–706

[12] Kaniecki, Leszek (1995). "On Šnirelman's constant under the Riemann hypothesis". Acta Arithmetica 4. pp. 361–374

[13] Terence Tao, Every odd number greater than 1 is the sum of at most five primes, http://arxiv.org/pdf/1201.6656v4

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

Goldbachin heikko konjektuuri

Edistyminen

Parittomien lukujen esittäminen useamman alkuluvun summana

Lähteet

Navigointivalikko

Haku