Gamma-matriisit

Matemaattisessa fysiikassa, gamma-matriisit, {γ⁰, γ¹, γ², γ³}, eli Diracin matriisit muodostavat matriisiarvoisen esityksen joukolle ortogonaalisia kantavektoreita aika-avaruuden kontravariantteja vektoreita varten. Cliffordin algebra saadaan näistä.

Näistä muodostetaan myös spinorit, jotka esittävät rotaatioita ja Lorentz-puskuja.

Diracin kannassa neljä kontravarianttia gamma-matriisia on

$\gamma ^{0}={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}},\gamma ^{1}\!=\!{\begin{pmatrix}0&0&0&1\\0&0&1&0\\0&-1&0&0\\-1&0&0&0\end{pmatrix}}$

$\gamma ^{2}\!=\!{\begin{pmatrix}0&0&0&-i\\0&0&i&0\\0&i&0&0\\-i&0&0&0\end{pmatrix}},\gamma ^{3}\!=\!{\begin{pmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&-1\\-1&0&0&0\\0&1&0&0\end{pmatrix}}.$

Matemaattinen rakenne

Gamma-matriisit määrittelevä ominaisuus on Cliffordin algebra eli antikommutaatiorelaatio

$\displaystyle \{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\}=\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }+\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu }=2\eta ^{\mu \nu }I$

missä $\eta ^{\mu \nu }\,$ on Minkowskin metriikka jossa on käytetty merkkisopimusta (+ − − −) ja $\ I\,$ on yksikkömatriisi.

Tätä määrittelevää ominaisuutta pidetään enemmän fundamentaalina kuin numeerisia gamma-matriiseja, joten metriikan eri merkkisopimukset (+ − − −), (− + + +) muuttavat gamma-matriisien määritelmää.

Kovariantit gamma-matriisit määritellään

$\displaystyle \gamma _{\mu }=\eta _{\mu \nu }\gamma ^{\nu }=\left\{\gamma ^{0},-\gamma ^{1},-\gamma ^{2},-\gamma ^{3}\right\}$,

jossa on käytetty Einsteinin summaussääntöä.

Määritelmä ei määrää yksikäsitteisesti gamma-matriiseja.

Historiaa

Paul Dirac löysi gammamatriisit koettaessaan löytää kvanttimekaanista liikeyhtälöä, joka kuvaa spin-1/2 hiukkasia. Klein ja Gordon olivat yrittäneet tätä jo 1926, jolloin he tekivät Schrödingerin tapaan operaattorisijoituksen $\mathbf {p} =-i\hbar \nabla$ ja $E=i\hbar \partial _{t}$ dispersiorelaatioon

$E^{2}=p^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}$

Tuloksena ollut Kleinin-Gordonin yhtälö ei antanut positiividefiniittiä todennäköisyystiheyttä ja ennusti väärät energiatasot vetyatomille. Ongelma perustuu toisen kertaluvun derivaattoihin. Ottamalla ensin dispersiorelaatiosta neliöjuuri ja vasta sen jälkeen sijoittamalla saadaan neliöjuuren alla oleva operaattori, minkä käsittely aiheuttaa vaikeuksia.

Dirac linearisoi operaattorineliöjuuren olettamalla, että

$E=\mathbf {\alpha } \cdot \mathbf {p} c+\beta mc^{2}$

missä $\ \alpha \$ on kolmekomponenttinen vektori. Korottamalla yrite toiseen tulisi saada dispersiorelaatio ja samalla ehtoja tekijöille $\ \alpha _{i}\$ ja $\ \beta \$. Ehdot ovat

$\alpha _{i}^{2}=\beta ^{2}=1$

$\alpha _{i}\alpha _{j}+\alpha _{j}\alpha _{i}=0$

$\alpha _{i}\beta +\beta \alpha _{i}=0$

missä i ≠ j. Näitä ehtoja eivät täytä yhtäaikaa mitkään kompleksiluvut. Dirac huomasi, että tietyt matriisit toteuttavat annetut ehdot. Pienimmät annetut ehdot toteuttavat matriisit ovat 4x4-matriiseja. Nykymerkinnöin $\gamma ^{0}=\beta$ ja $\gamma ^{k}=\gamma ^{0}\alpha ^{k}$, missä $k=1,2,3$.

Diracin yhtälö

Luonnollisessa yksikköjärjestelmässä Diracin yhtälö voidaan ilmaista muodossa

$(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m)\psi =0$

missä $\psi$ on nelikomponenttinen Dirac-spinori. Jos $\gamma ^{\mu }$ olisi nelivektori, se osoittaisi johonkin aika-avaruuden suuntaan ja Diracin yhtälö ei olisi Lorentz-invariantti.

Feynmanin sivallusmerkintä määritellään

$a\!\!\!/:=\gamma ^{\mu }a_{\mu }.$

Diracin yhtälö on tämän avulla ilmaistuna

$(i\partial \!\!\!/-m)\psi =0.$

Käyttämällä operaattoria $-(i\partial \!\!\!/+m)$ molemmin puolin, saadaan

$(\partial \!\!\!/^{2}+m^{2})\psi =(\partial ^{2}+m^{2})\psi =0,$

eli Kleinin-Gordonin yhtälö. Kuten merkinnästä voi päätellä, Diracin yhtälöä noudattavan hiukkasen massa on m.

Viides gamma-matriisi

On hyödyllistä muodostaa viides gamma-matriisi neljän gamma-matriisin tulona seuraavalla tavalla:

$\gamma ^{5}:=i\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}={\begin{pmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&1\\1&0&0&0\\0&1&0&0\end{pmatrix}}$ (Diracin kannassa)

Vaikka $\gamma ^{5}$ käyttää gamma-kirjainta, sitä ei pidetä määritelmän mukaisena gamma-matriisina. Yläindeksi 5 on jäänne ajasta, jolloin $\gamma ^{0}$ oli $\gamma ^{4}$.

$\gamma ^{5}$ voidaan ilmaista vaihtoehtoisesti myös seuraavassa muodossa:

$\gamma ^{5}={\frac {i}{4!}}\varepsilon _{\mu \nu \alpha \beta }\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\alpha }\gamma ^{\beta }$

Tässä $\varepsilon _{\mu \nu \alpha \beta }$ on neliulotteinen yleistys Levi-Civita-symbolille. Viides gamma-matriisi on hyödyllinen käsiteltäessä hiukkasten kätisyyttä eli kiraalisuutta hiukkasfysiikassa. Esimerkiksi Diracin kentän voi projisoida vasen- (L) ja oikeakätisiksi (R) seuraavasti:

$\psi _{L}={\frac {1-\gamma ^{5}}{2}}\psi ,\qquad \psi _{R}={\frac {1+\gamma ^{5}}{2}}\psi$.

Matriisilla on seuraavat ominaisuudet:

• Hermiittisyys:

$(\gamma ^{5})^{\dagger }=\gamma ^{5}.\,$

• Ominaisarvot ovat ±1, sillä:

$(\gamma ^{5})^{2}=I_{4}.\,$

• Antikommutointi gamma-matriisien kanssa:

$\left\{\gamma ^{5},\gamma ^{\mu }\right\}=\gamma ^{5}\gamma ^{\mu }+\gamma ^{\mu }\gamma ^{5}=0.\,$

Matemaattisia identiteettejä

Seuraavat gamma-matriiseja koskevat laskusäännöt seuraavat suoraan matriisit määrittelevästä antikommutaatiorelaatiosta, joten ne pätevät missä tahansa kannassa.

Sekalaisia laskusääntöjä

Nro	Laskusääntö
1	$\displaystyle \gamma ^{\mu }\gamma _{\mu }=4I_{4}$
2	$\displaystyle \gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma _{\mu }=-2\gamma ^{\nu }$
3	$\displaystyle \gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma _{\mu }=4\eta ^{\nu \rho }I_{4}$
4	$\displaystyle \gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\sigma }\gamma _{\mu }=-2\gamma ^{\sigma }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\nu }$
5	$\displaystyle \gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\lambda }=\eta ^{\mu \nu }\gamma ^{\lambda }+\eta ^{\nu \lambda }\gamma ^{\mu }-\eta ^{\mu \lambda }\gamma ^{\nu }-i\epsilon ^{\sigma \mu \nu \lambda }\gamma _{\sigma }\gamma ^{5}$

Jälkien laskusääntöjä

Nro	Laskusääntö
0	$\operatorname {tr} (\gamma ^{\mu })=0$
1	Tulon, jossa on pariton määrä gamma-matriiseja, jälki on 0
2	Tulon, jossa on $\gamma ^{5}$ kerrottuna parittomalla määrällä gamma-matriiseja, jälki on 0
3	$\operatorname {tr} (\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu })=4\eta ^{\mu \nu }$
4	$\operatorname {tr} (\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\sigma })=4(\eta ^{\mu \nu }\eta ^{\rho \sigma }-\eta ^{\mu \rho }\eta ^{\nu \sigma }+\eta ^{\mu \sigma }\eta ^{\nu \rho })$
5	$\operatorname {tr} (\gamma ^{5})=\operatorname {tr} (\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{5})=0$
6	$\operatorname {tr} (\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\sigma }\gamma ^{5})=-4i\epsilon ^{\mu \nu \rho \sigma }$
7	$\operatorname {tr} (\gamma ^{\mu 1}\dots \gamma ^{\mu n})=\operatorname {tr} (\gamma ^{\mu n}\dots \gamma ^{\mu 1})$

Ylläolevien laskusääntöjen todistaminen vaatii kolmen lineaarialgebrasta tutun laskusäännön käyttämistä:

• tr(A + B) = tr(A) + tr(B)
• tr(rA) = r tr(A)
• tr(ABC) = tr(CAB) = tr(BCA)

missä A, B ja C ovat matriiseja ja r on skalaari.

Feynmanin sivallusmerkintä

Kvanttikenttäteoriassa usein esiintyvä gamma-matriisin ja nelikomponenttisen vektorin yhdistelmä lyhennetään jättämällä gamma-matriisi merkitsemättä ja piirtämällä kenoviiva vektorin päälle:

$a\!\!\!/:=\gamma ^{\mu }a_{\mu }.$

Sivallusmerkintään liittyviä laskusääntöjä:

$a\!\!\!/b\!\!\!/=a\cdot b-2ia_{\mu }S^{\mu \nu }b_{\nu }$

$a\!\!\!/a\!\!\!/=a^{\mu }a^{\nu }\gamma _{\mu }\gamma _{\nu }={\frac {1}{2}}a^{\mu }a^{\nu }(\gamma _{\mu }\gamma _{\nu }+\gamma _{\nu }\gamma _{\mu })=\eta _{\mu \nu }a^{\mu }a^{\nu }=a^{2}$

$\operatorname {tr} (a\!\!\!/b\!\!\!/)=4(a\cdot b)$

$\operatorname {tr} (a\!\!\!/b\!\!\!/c\!\!\!/d\!\!\!/)=4\left[(a\cdot b)(c\cdot d)-(a\cdot c)(b\cdot d)+(a\cdot d)(b\cdot c)\right]$

$\operatorname {tr} (\gamma _{5}a\!\!\!/b\!\!\!/c\!\!\!/d\!\!\!/)=4i\epsilon _{\mu \nu \rho \sigma }a^{\mu }b^{\nu }c^{\rho }d^{\sigma }$

$\gamma _{\mu }a\!\!\!/\gamma ^{\mu }=-2a\!\!\!/$

$\gamma _{\mu }a\!\!\!/b\!\!\!/\gamma ^{\mu }=4a\cdot b\,$

$\gamma _{\mu }a\!\!\!/b\!\!\!/c\!\!\!/\gamma ^{\mu }=-2c\!\!\!/b\!\!\!/a\!\!\!/\,$

missä

$\epsilon _{\mu \nu \rho \sigma }\,$ on neliulotteinen Levi-Civita-symboli ja $S^{\mu \nu }={\frac {i}{4}}[\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }].$

Muut kannat

Gamma-matriisit kirjoitetaan joskus blokkidiagonaalimuodossa käyttäen 2x2-yksikkömatriisia, $I_{2}$, ja määrittelemällä

$\gamma ^{k}={\begin{pmatrix}0&\sigma ^{k}\\-\sigma ^{k}&0\end{pmatrix}}$

missä k on kokonaisluku yhden ja kolmen väliltä ja σ^k ovat Paulin matriiseja.

Diracin kanta

Tässä artikkelissa gamma-matriisit on kirjoitettu Diracin kannassa:

$\gamma ^{0}={\begin{pmatrix}I_{2}&0\\0&-I_{2}\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{k}={\begin{pmatrix}0&\sigma ^{k}\\-\sigma ^{k}&0\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{5}={\begin{pmatrix}0&I_{2}\\I_{2}&0\end{pmatrix}}.$

Weylin kanta

Toinen yleisessä käytössä oleva kanta on Weylin kanta, missä $\gamma ^{k}$ pysyvät samoina, mutta $\gamma ^{0}$ on erilainen, jolloin $\gamma ^{5}$ on myös erilainen:

$\gamma ^{0}={\begin{pmatrix}0&I_{2}\\I_{2}&0\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{k}={\begin{pmatrix}0&\sigma ^{k}\\-\sigma ^{k}&0\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{5}={\begin{pmatrix}-I_{2}&0\\0&I_{2}\end{pmatrix}}.$

Weylin kanta on hyödyllinen, koska hiukkasfysiikassa kiraaliset kentät saavat siinä yksinkertaisen muodon:

$\psi _{L}={\frac {1}{2}}(1-\gamma ^{5})\psi ={\begin{pmatrix}I_{2}&0\\0&0\end{pmatrix}}\psi ,\quad \psi _{R}={\frac {1}{2}}(1+\gamma ^{5})\psi ={\begin{pmatrix}0&0\\0&I_{2}\end{pmatrix}}\psi .$

Erityisesti voidaan päätellä

$\psi ={\begin{pmatrix}\psi _{L}\\\psi _{R}\end{pmatrix}},$

missä $\psi _{L}$ ja $\psi _{R}$ ovat vasen- (L) ja oikeakätiset (R) kaksikomponenttiset Weylin spinorit.

Toinen mahdollinen määritelmä Weylin kannalle on

$\gamma ^{0}={\begin{pmatrix}0&-I_{2}\\-I_{2}&0\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{k}={\begin{pmatrix}0&\sigma ^{k}\\-\sigma ^{k}&0\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{5}={\begin{pmatrix}I_{2}&0\\0&-I_{2}\end{pmatrix}}.$

Tällöin kiraaliset kentät saavat hiukan eri muodon:

$\psi _{R}={\begin{pmatrix}I_{2}&0\\0&0\end{pmatrix}}\psi ,\quad \psi _{L}={\begin{pmatrix}0&0\\0&I_{2}\end{pmatrix}}\psi .$

Toisin sanoen:

$\psi ={\begin{pmatrix}\psi _{R}\\\psi _{L}\end{pmatrix}},$

missä $\psi _{L}$ ja $\psi _{R}$ ovat vasen- ja oikeakätiset kaksikomponenttiset Weylin spinorit, kuten edellä.

Majoranan kanta

On olemassa myös Majoranan kanta, missä kaikki Diracin matriisit ovat imaginaarisia mutta spinorit ja Diracin yhtälö ovat reaalisia. Paulin matriisien avulla sen voi ilmaista seuraavasti:

$\gamma ^{0}={\begin{pmatrix}0&\sigma ^{2}\\\sigma ^{2}&0\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{1}={\begin{pmatrix}i\sigma ^{3}&0\\0&i\sigma ^{3}\end{pmatrix}}$

$\gamma ^{2}={\begin{pmatrix}0&-\sigma ^{2}\\\sigma ^{2}&0\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{3}={\begin{pmatrix}-i\sigma ^{1}&0\\0&-i\sigma ^{1}\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{5}={\begin{pmatrix}\sigma ^{2}&0\\0&-\sigma ^{2}\end{pmatrix}}.$