Fermat’n luku

Fermat’n luku on luku muotoa $F_{n}=2^{2^{n}}+1$, missä n on ei-negatiivinen kokonaisluku. Ensimmäiset Fermat’n luvut ovat:

F0 = 21	+	1	=	3
F1 = 22	+	1	=	5
F2 = 24	+	1	=	17
F3 = 28	+	1	=	257
F4 = 216	+	1	=	65 537
F5 = 232	+	1	=	4 294 967 297

Näistä luvut 3, 5, 17, 257 ja 65 537 ovat alkulukuja, mutta F₅ onkin yhdistetty luku. Ei tiedetä, onko Fermat’n lukujen joukossa yhtään alkulukua F₄:n jälkeen. Fermat’n luvut liittyvät läheisesti säännöllisten monikulmioiden konstruoimiseen: Gauss todisti, että säännöllinen monikulmio on mahdollista piirtää harpilla ja viivoittimella, jos ja vain jos monikulmion kulmien lukumäärä on muotoa $2^{k_{0}}F_{k_{1}}F_{k_{2}}\cdots F_{k_{n}}$, missä $F_{k_{1}},\cdots ,F_{k_{n}}$ ovat erisuuruisia Fermat’n alkulukuja.

Fermat’n luvut on nimetty harrastelijamatemaatikko Pierre de Fermat’n (1601–1665) mukaan. Tämä itse otaksui, että kaikki Fermat’n luvut olisivat alkulukuja. Otaksuman kumosi Leonhardt Euler vuonna 1732 osoittamalla, että $F_{5}=641\cdot 6700417$. Myöhemmin suuremmillekin Fermat’n luvuille on löydetty alkutekijöitä ja moni lukuteoreetikko uskookin, että muita kuin Fermat’n tuntemia Fermat’n alkulukuja ei merkittävissä määrin ole olemassa.

Pépinin testillä voidaan selvittää annetusta Fermat’n luvusta, onko se alkuluku.

Aiheesta muualla

• Fermat Prime – Wolfram MathWorld (englanniksi)
• Fermat’n lukujen alkutekijöitä (Arkistoitu – Internet Archive)
• Projekti, joka etsii Fermat’n lukujen alkutekijöitä