Eksponenttifunktion sarjakehitelmä

Eksponenttifunktion sarjakehitelmä muuttujan x potenssisarjana on muotoa

$e^{x}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+...=\sum _{n=0}^{\infty }{a_{n}x^{n}}$

Kertoimet $a_{n}$ voidaan määrittää tarkastelemalla myös eksponenttifunktion derivaatan $de^{x}/dx$

sarjakehitelmää

${de^{x} \over dx}=\sum _{n=0}^{\infty }{a_{n}nx^{n-1}}=\sum _{n=1}^{\infty }{a_{n}nx^{n-1}}=\sum _{n=0}^{\infty }{a_{n+1}(n+1)x^{n}}$

Mutta koska eksponenttifunktion määritelmän perusteella

${de^{x} \over dx}=e^{x}$,

saadaan rekursioyhtälö

$a_{n+1}={a_{n} \over {n+1}}$,

alkuarvolla $a_{0}=e^{0}=1$.

Kertoimet ovat siis $a_{0}=1$, $a_{1}=1$, $a_{2}={\frac {1}{2}}$, $a_{3}={\frac {1}{2\cdot 3}}={\frac {1}{6}}$, $a_{4}={\frac {1}{2\cdot 3\cdot 4}}={\frac {1}{24}}$ ja niin edelleen. Yleinen ratkaisu voidaan kirjoittaa kertoman avulla muodossa $a_{n}={\frac {1}{n!}}$.

Kantaluvun $e$ eksponenttifunktio voidaan siten määritellä päättymättömänä potenssisarjana seuraavasti:

$e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}=1+x+{x^{2} \over 2!}+{x^{3} \over 3!}+{x^{4} \over 4!}+\ldots$

Tässä määritelmässä $n$ on luonnollinen luku, $x$ on mielivaltainen reaaliluku tai kompleksiluku ja $n!$ on kertoma.

Katso myös

• Eksponenttifunktio