Bifurkaatio (kaaosteoria)

Bifurkaatiokaavio, kun sisäänsyötettävää arvoa r (esimerkiksi lamppua ohjaavan bifurkaatiokoneen jännite) kasvatetaan, ulostuleva arvo (lampun kirkkaus) kasvaa ensin tasaisesti, sitten vaihtelee (tai vilkkuu) kahden, sitten neljän tilan jne. välillä.

Bifurkaatio (myös kahdentuminen) tarkoittaa kaaosteoriassa järjestelmän käyttäytymisen haarautumista äkillisesti kahdeksi, usein erilliseksi, haaraksi.

Eräissä systeemeissä responssi voi muuttua kahdeksi vaihtoehdoksi, mikäli systeemin syötettä muutetaan vähän. Kaoottisissa systeemeissä tämä voi tapahtua ennalta-arvaamattomassa funktion pisteessä. Bifurkaatio on Mitchell Feigenbaumin esittelemä käsite, joka liittyy kaaosteoriaan. Bifurkaatio saattaa tapahtua missä tahansa järjestelmässä, jossa on monia toisiinsa vuorovaikuttavia osia.

Esimerkki matemaattisesta bifurkaatiosta on iteraatiokaava $x_{n+1}=1-a\cdot x_{n}^{2}\,$, jossa $-1<x_{n}<1\,$. Eri a:n arvo vaikuttaa iteroinnin etenemiseen merkittävästi:

• 0 < a < 0,75, esimerkiksi 0,5. Asetetaan x₀=0 ja iterointi tuottaa arvoja 1, 0,5; 0,875 jne kunnes saavutetaan arvo 0.73205
• 0,75 < a < 1,25, esimerkiksi arvolla 0,9 iterointi ryhtyy hyppimään arvojen 0,12522 ja 0,98589 välillä
• 1,25 < a < 1,368, esimerkiksi arvolla 1,3 iterointi hyppii arvojen 0.99971, -0,01495, 0,88359 ja -0,29925 välillä
• 1,368 < a < 1,401, esimerkiksi arvolla 1,38 iterointi hyppii kymmenen arvon eri välillä
• 1,401 < a < 2, monilla a:n arvoilla iterointi käyttäytyy kaoottisesti

Jos piirretään tulokset siten, että vaaka-akselilla on suure a ja pystyakselilla iteraation lopputuloksena saadut arvot, niin saadaan oheisen kuvan kaltainen käyrä.

Bifurkaatio ei ole pelkästään matemaattinen käsite. Esimerkiksi lamppu, joka palaa himmeänä, alkaa vilkkua kirkkaan ja sammuneen tilan välillä, on kokenut bifurkaation. Seuraava bifurkaatio ajaa lampun vilkkumaan neljän eri kirkkauden välillä. Voitaisiin rakentaa elektroninen laite, jossa lampun vilkkuminen riippuu siihen syötettävästä jännitteestä. Jännitteellä 1 lamppu ei vilku, jännitteellä 2 lamppu vilkkuu kahden tilan välillä ja jännitteellä 3 neljän tilan välillä ja jännitteellä 3,5 kahdeksan tilan välillä ja niin edelleen. Jos lampun vilkkumistiloja on ääretön määrä, se on ajautunut kaaokseen. Bifurkaatiosta voidaan laatia kaavio, jossa näkyy lampun kirkkaus ja sisään syötettävä jännite, kun taas kaoottisesta systeemistä tätä ei voida helposti tehdä.

Katso myös

• Kompleksisuusteoria

Lähteet

• Ekeland, Ivar: Ennakoimattoman matematiikka. Art House, 1990. ISBN 951-884-006-7

Aiheesta muualla

• Kuvia tai muita tiedostoja aiheesta Bifurkaatio (kaaosteoria) Wikimedia Commonsissa