Bernoullin luku

Bernoullin luvut ovat rationaalilukujono, jolla on suuri merkitys lukuteoriassa. Ensimmäiset Bernoullin luvut ovat:

$B_{0}=1,\;\;B_{1}=\pm 1/2,\;\;B_{2}=1/6,\;\;B_{3}=0,\;\;B_{4}=-1/30,\;\;B_{5}=0,\;\;B_{6}=1/42.$

On kaksi eri tapaa määritellä Bernoullin luvut. Määritelmät eroavat vain luvun B₁ kohdalla: B₁ on joko -1⁄2 tai 1⁄2. Ensimmäisessä tapauksessa on kysymyksessä ensimmäiset Bernoullin luvut ja jälkimmäisessä toiset Bernoullin luvut. Koska Bernoullin luvut, joiden indeksi on pariton ja suurempi kuin 1 ovat nollia, käsitellään monesti vain lukuja B_2n, joita joissakin teksteissä merkitään harhaanjohtavasti B_n, kun itse asiassa tarkoitetaan lukua B_2n. Tämä voi johtaa sekaannuksiin; mikäli on tarpeellista käyttää vain lukuja B_2n, voi käyttää vaihtoehtoista merkintää ${B}_{n}^{*}=B_{2n}$.

Bernoullin luvut esiintyvät tangenttifunktion ja hyperbolisen tangenttifunktion Taylorin sarjakehitelmässä, n:n ensimmäisen kokonaisluvun potenssisummien kaavoissa, Eulerin-Maclaurinin kaavassa ja eräiden Riemannin zeta-funktion arvojen lausekkeissa.

Ne on nimetty 1600-luvulla eläneen kehittäjänsä Jakob Bernoullin mukaan.

Historia

Bernoullin lukujen keksiminen juontaa juurensa ongelmaan kokonaislukupotenssien summan laskemisesta, mikä on kiinnostanut matemaatikkoja antiikin ajoista lähtien.

Aluksi tunnettiin tapoja laskea n:n ensimmäisen kokonaisluvun, n:n ensimmäisen neliön ja n:n ensimmäisen kuutioluvun summa, mutta ei varsinaisia kaavoja, vain puhtaasti sanallisia kuvauksia. Varhaisista matemaatikoista tätä ongelmaa ovat miettineet ainakin Pythagoras, Arkhimedes, Aryabhata, Abu Bakr al-Karajidi ja Abu Ali al-Hasan ibn al-Hasan ibn al-Haytham.

Thomas Harriot (n. 1560–1621) on ilmeisesti ensimmäinen, joka johti ja kirjoitti kaavat symbolisessa muodossa, mutta hän etsi kaavat vain neljänsien potenssien summaan asti. Vuonna 1631 julkaistussa Academia Algebraessa Johann Faulhaber esitti kaavat potenssien summille polynomimuodossa aina 17. potenssiin asti ja mainitsi etsineensä kaavat 25. potenssiin asti. Nämäkin kaavat ovat teoksessa, tosin salakirjoitusmuodossa. Donald E. Knuth arvelee olevansa ensimmäinen, joka ratkaisi Faulhaberin koodin ja sanoo kaavojen olleen oikein 23. potenssiin asti. Kuitenkaan Faulhaberkaan ei keksinyt yleistä sääntöä.

Jakob Bernoullin Summae Potestatum, 1713

Sveitsiläinen matemaatikko Jakob Bernoulli (1654-1705) oli ensimmäinen, joka huomasi yksittäisen lukujonon, joka tarjoaisi tavan muodostaa yleisen kaavan potenssisummille. Ensimmäinen julkaisu Bernoullin luvuista on Bernoullin hänen kuolemansa jälkeen, vuonna 1713 julkaistussa Ars Conjectandissa.

Kuvan otteessa kirjasta näkyy sivun alemmassa puoliskossa Bernoullin löytämä kaava. Siinä käytetyt merkinnät kuitenkin poikkeavat useissa kohdissa nykyisistä. Niinpä Bernoulli käyttää merkintöjä A, B C ja D modernin merkintätavan mukaisista luvuista B₂, B₄, B₆ ja B₈. Lausekkeessa c·c−1·c−2·c−3 esiintyvät pisteet ovat erottamassa kertolaskun termejä c, c-1, c-2 ja c-3; nykyisin se kirjoitettaisiin c·(c−1)·(c−2)·(c−3). Modernia termejä käyttäen kyseessä on siis laskeva kertoma, jolle käytetään myös merkintää $c^{\underline {k-1}}$. Myöskään kertomamerkintää ei vielä tuolloin käytetty. Integraalin merkki on peräisin Leibniziltä, joka käytti sitä merkitsemään summaa. Oheisella sivulla Bernoullin käyttämänä esimerkiksi merkintä $\int n^{4}$ tarkoittaa summaa $1^{4}+2^{4}+...+n^{4}$. Niinpä nykyaikaisin merkinnöin Bernoullin kaava kirjoitettaisiin:

$\sum _{k=1}^{n}k^{c}={\frac {n^{c+1}}{c+1}}+{\frac {1}{2}}n^{c}+\sum _{k=2}^{c}{\frac {B_{k}}{k!}}c^{\underline {k-1}}n^{c-k+1}.$

Tätä voidaan vielä yksinkertaistaa käyttämällä edellä määriteltyjä toisia Bernoullin lukuja, jolloin $B_{1}={\frac {1}{2}}$. Lisäksi voidaan vielä todeta, että laskeva kertoma $c^{\underline {k-1}}$ saa arvolla k=0 arvon ${\frac {1}{c+1}}$.</ref>R. Graham; D. E. Knuth; O. Patashnik: Concrete Mathematics. (2. painos, luku 2.51) Addison-Wesley, 1989. ISBN 0-201-55802-5 </ref> Näin ollen Bernoullin kaava yksinkertaistuu muotoon:

$\sum _{k=1}^{n}k^{c}=\sum _{k=0}^{c}{\frac {B_{k}}{k!}}c^{\underline {k-1}}n^{c-k+1}$

Oheisella Bernoullin teoksen sivulla on kuitenkin virhe: summan $\int n^{9}$ (eli $\textstyle \sum _{k=1}^{n}k^{9}$) lausekkeessa viimeisen termin tulisi olla $-{\tfrac {3}{20}}n^{2}$, ei $-{\tfrac {1}{12}}n^{2}$.

Bernoullin tyytyväisyys nopeaan tapaan määrittää kertoimet n ensimmäisen kokonaisluvun c:nsien potenssien summalle, jokaiselle kokonaisluvulle c näkyy seuraavasta kommentista:

"Tämän taulukon avulla sain laskettua alle puolessa neljännestunnissa, että 1000 ensimmäisen luvun kymmenien potenssien summa on 91409924241424243424241924242500.”

Bernoullin luvut voidaan määritellä generoivan funktion avulla:

${\frac {x}{e^{x}-1}}=\sum _{n=0}^{\infty }B_{n}{\frac {x^{n}}{n!}}.$

Ensimmäiset Bernoullin luvut

Tässä taulukossa on vain Bernoullin luvut B_2n, koska parittomilla indekseillä B_n on 0, lukuun ottamatta lukua B₁, jonka arvo on sopimuksesta riippuen joko -1⁄2 tai 1⁄2

Ensimmäiset Bernoullin luvut, joilla on parillinen indeksi

n	Bn
0	1
2	⁠1/6⁠
4	−⁠1/30⁠
6	⁠1/42⁠
8	−⁠1/30⁠
10	⁠5/66⁠
12	−⁠691/2730⁠
14	⁠7/6⁠
16	−⁠3617/510⁠
18	⁠43867/798⁠
20	−⁠174611/330⁠
22	⁠854513/138⁠
24	−⁠236364091/2730⁠
26	⁠8553103/6⁠
28	−⁠23749461029/870⁠
30	⁠8615841276005/14322⁠
32	−⁠7709321041217/510⁠
34	⁠2577687858367/6⁠
36	−⁠26315271553053477373/1919190⁠
38	⁠2929993913841559/6⁠
40	−⁠261082718496449122051/13530⁠
42	−⁠1520097643918070802691/1806⁠
44	−⁠27833269579301024235023/690⁠
46	⁠596451111593912163277961/282⁠
48	−⁠5609403368997817686249127547/46410⁠
50	⁠495057205241079648212477525/66⁠

Bernoullin luvut ja Riemannin zeta-funktio

Bernoullin luvut Riemannin zeta-funktion avulla.

Bernoullin luvuilla on yhteyksiä Riemannin zeta-funktion arvoihin, Bernoullin luvut voidaan ilmoittaa Riemannin zeta-funktion avulla

$B_{n}={(-1)}^{n+1}n\zeta (1-n)$

Riemannin zeta-funktion arvot $\zeta (n)$ voidaan ilmoittaa yksinkertaisella lausekkeella Bernoullin lukujen avulla, kun n on negatiivinen kokonaisluku tai parillinen positiivinen kokonaisluku: parillisille positiivisille kokonaisluvuille 2n

$\zeta (2n)=(-1)^{n+1}{\frac {B_{2n}(2\pi )^{2n}}{2(2n)!}}$

ja negatiivisille kokonaisluvuille pätee

$\zeta (-n)=-{\frac {B_{n+1}}{n+1}}$, kun n ≥ 1,

Kiinteästä yhteydestä kertoo myös se, että Riemannin hypoteesi voidaan muotoilla uudelleen Bernoullin lukuja käyttäen. Marcel Riesz todisti vuonna 1916 seuraavan hypoteesin olevan yhtäpitävä Riemannin hypoteesin kanssa:

Jokaiselle luvulle ε > 1/4 on olemassa (ε:sta riippuva) vakio C_ε > 0 siten, että |R(x)| < C_ε x^ε kun x → ∞.

Merkintä R(x) tarkoittaa Rieszin funktiota

$R(x)=2\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{\overline {k}}x^{k}}{(2\pi )^{2k}\left(B_{2k}/(2k)\right)}}=2\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{\overline {k}}x^{k}}{(2\pi )^{2k}\beta _{2k}}}.\$

Tässä $n^{\overline {k}}$ tarkoittaa nousevaa kertomaa, käyttäen Donald E. Knuthin esittämää merkintää.