Aritmeettinen tiheys

Aritmeettinen tiheys eli luonnollinen tiheys on eräs tapa mitata lukuteoriassa kuinka suuri jokin luonnollisten lukujen osajoukko on.

On intuitiivista ajatella, että on enemmän luonnollisia lukuja kuin on vaikkapa neliölukuja, sillä jokainen neliöluku on myös luonnollinen luku ja lisäksi on paljon muita luonnollisia lukuja jotka kuitenkaan eivät ole neliöitä.

Esimerkiksi äärettömien joukkojen vertailussa käytetyn mahtavuuden käsitteen nojalla nämä joukot ovat yhtä suuria, sillä joukkojen välille voidaan muodostaa bijektio, esimerkiksi funktio $f(n)=n^{2}$ on bijektio joukosta $\mathbb {N}$ neliölukujen joukkoon E = {0, 1, 4, 9, 16, ...}

Tarvitaan siis uudenlainen keino tämän intuitiivisen asian saattamiseksi matemaattisesti pätevään muotoon.

Määritelmä

Lukujonon A

a₁, a₂, ... , a_n, .....

missä a_j ovat positiivisia kokonaislukuja ja kaikille j pätee a_j < a_j+1 aritmeettinen tiheys d(A) on

$\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {|A(n)|}{n}}$

missä |A(x)| on niiden a_j lukumäärä joille a_j < x, mikäli raja-arvo on olemassa.

Esimerkkejä

• parillisten lukujen tiheys on ¹/₂, voidaan siis sanoa, että puolet kokonaisluvuista ovat parillisia
• Neliövapaiden lukujen tiheys on ${\tfrac {6}{\pi ^{2}}}$
• Alkulukulauseen mukaan alkulukujen joukon tiheys on 0.
• Runsaiden lukujen tiheyden tiedetään olevan lukujen 0.2474 ja 0.2480 välissä.
• Onnellisten lukujen tiheyttä ei tiedetä, mutta sen oletetaan olevan noin ¹/₇