Aliryhmäkriteeri

Aliryhmäkriteeri on ryhmäteorian lause, joka kertoo, milloin ryhmän osajoukko on ryhmän aliryhmä. Aliryhmäkriteerin hyödyllisyys perustuu siihen, että rakenteen todentaminen assosiatiiviseksi (liitännäiseksi) on usein hyvin työlästä. Joukko on usein helpompi näyttää ryhmäksi vain osoittamalla, että se on jonkin tunnetun ryhmän aliryhmä.

Lause

Olkoon G ryhmä ja H sen osajoukko. Tällöin H on ryhmän G aliryhmä, jos ja vain jos

• H on epätyhjä (ehto 1)
• ab⁻¹ ∈ H aina, kun a, b ∈ H (ehto 2).

Todistus

Todistuksessa näytetään, että

• jos H on ryhmä, niin se täyttää ehdot 1 ja 2 (väite 1)
• jos H täyttää ehdot 1 ja 2, niin H on ryhmä (väite 2).

Osoitetaan väite 1. Ryhmän määritelmän mukaan ryhmässä on neutraalialkio e. Siispä e ∈ H, joten H on epätyhjä, eli ehto 1 toteutuu. Ehdon 2 toteutuminen nähdään seuraavasti: oletetaan, että a, b ∈ H. Ryhmän määritelmän nojalla jokaisella ryhmän alkiolla on käänteisalkio, joka kuuluu ryhmään. Erityisesti siis alkiolla b ∈ H on olemassa käänteisalkio b⁻¹ ∈ H. Koska nyt a, b⁻¹ ∈ H ja laskutoimitus on ryhmän määritelmän nojalla vakaa, niin ab⁻¹ ∈ H aina, kun a, b ∈ H.

Osoitetaan väite 2. Todistuksen ideana on osoittaa, että ehtojen 1 ja 2 ollessa voimassa joukko H täyttää ryhmän määritelmän ehdot, jotka ovat laskutoimituksen vakaus ja liitännäisyys sekä neutraalialkion ja käänteisalkioiden olemassaolo.

Laskutoimituksen liitännäisyys on voimassa ryhmässä G, joten se on voimassa myös joukossa H.

Neutraalialkio on olemassa ja se kuuluu joukkoon H. Tämä seuraa ehdosta 2. Koska ab⁻¹ ∈ H kaikilla a, b ∈ H, niin erityisesti aa⁻¹ ∈ H kaikilla a ∈ H. Koska aa⁻¹ = e, niin e ∈ H.

Jokaisella joukon H alkiolla on käänteisalkio, joka kuuluu joukkoon H. Tämä seuraa ehdosta 2 ja neutraalialkion olemassaolosta. Koska ab⁻¹ ∈ H kaikilla a, b ∈ H, niin erityisesti ea⁻¹ ∈ H kaikilla a ∈ H (e ∈ H). Koska ea⁻¹ = a⁻¹, niin a⁻¹ ∈ H.

Laskutoimitus on vakaa. Tämä seuraa ehdosta 2 ja käänteisalkioiden olemassaolosta. Jos a, b ∈ H, niin edellisen nojalla myös b⁻¹ ∈ H. Siispä ehdon 2 nojalla a(b⁻¹)⁻¹ ∈ H kaikilla a, b⁻¹ ∈ H. Koska pätee a(b⁻¹)⁻¹ = ab, niin ab ∈ H kaikilla a, b ∈ H.

Siispä H täyttää ryhmän ehdot, joten ryhmän G osajoukkona se on ryhmän G aliryhmä.

Aliryhmäkriteeri äärellisissä ryhmissä

Äärellisissä ryhmissä aliryhmäkriteeri yksinkertaistuu hieman. Jos G on äärellinen ryhmä ja b ∈ H, niin on olemassa sellainen positiivinen kokonaisluku n, että bⁿ = e. Tällöin alkion b käänteisalkio on bⁿ⁻¹. Siis jos tällöin ehto ab ∈ H pätee aina, kun a, b ∈ H, niin induktiivisesti voidaan päätellä myös, että ab⁻¹ = abⁿ⁻¹ ∈ H. Tällöin aliryhmäkriteerin perusteella H on ryhmä. Triviaalisti ryhmissä väite pätee toiseen suuntaan. Toiseen suuntaan päättely on triviaali, joten saadaan aliryhmäkriteeri äärellisille ryhmille:

Olkoon G äärellinen ryhmä ja H sen osajoukko. Tällöin H on ryhmän G aliryhmä, jos ja vain jos

• H on epätyhjä (ehto 1)
• ab ∈ H aina, kun a, b ∈ H (ehto 2).

Todistuksen perusteella itse asiassa ehtoja voitaisiin vieläkin hieman heikentää. Ryhmän G äärellisyyden sijasta voitaisiin olettaa vain, että ryhmän G jokaisella alkiolla olisi äärellinen kertaluku. Päättely sujuisi tällöin kuten edellä.

Kirjallisuutta

• Häsä, Jokke & Rämö, Johanna: Johdatus abstraktiin algebraan. Helsinki: Gaudeamus, 2015. ISBN 978-952-495-361-0