Abelin lause

Abelin lause on matematiikan lause, joka käsittelee potenssisarjojen suppenemista. Lause on nimetty kehittäjänsä, norjalaisen matemaatikon Niels Henrik Abelin, mukaan.

Lause

Olkoon

$\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}(x-x_{0})^{k}\!$

potenssisarja, missä $a_{0},a_{1},a_{2},...\!$ ja $x_{o}\!$ ovat reaalilukuisia vakioita ja $x_{0}\!$ sarjan kehityskeskus.

Abelin lauseen mukaan:

i) Jos potenssisarja suppenee eräällä $x=x_{1}\neq x_{0}\!$, niin se suppenee itseisesti jokaisella reaaliluvulla $x\!$, jolle $|x-x_{o}|<|x_{1}-x_{0}|\!$, eli joka on lähempänä lukua $x_{0}\!$ kuin luku $x_{1}\!$.

ii) Jos potenssisarja ei suppene itseisesti eräällä $x=x_{2}\!$, niin se hajaantuu jokaisella reaaliluvulla $x\!$, jolle $|x-x_{o}|>|x_{2}-x_{0}|\!$, eli joka on kauempana luvusta $x_{0}\!$ kuin luku $x_{2}\!$.

Kirjallisuutta

• Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus. Helsinki: Avoimet oppimateriaalit ry, 2015. ISBN 978-952-7010-12-9