257-kulmio

257-kulmio (kaksi­sataa­viisi­kymmentä­seitsen­kulmio, diakosi­penta­konta­heptagoni, diakosi­pente­konta­heptagoni) on monikulmio, jolla on 257 sivua. Kuperan 257-kulmion kulmien summa on 45 900°.

Säännöllinen 257-kulmio

Jos säännöllisen 257-kulmion sivun pituus on t, sen pinta-ala on

$A={\frac {257}{4}}t^{2}\cot {\frac {\pi }{257}}\approx 5255.751t^{2}.$

Säännöllistä 257-kulmiota ei juuri voi visuaalisesti erottaa ympyrästä. Ympyrän sisään piirretyn säännöllisen 257-kulmion sivujen pituuksien summa eroaa ympyrän kehän pituudesta vain noin 24 miljoonasosaa. Sen sivujen keskipisteiden etäisyys ympyrän kehästä on vain

$d=r(1-\cos {\frac {\pi }{257}})$ eli noin 75 miljoonasosaa ympyrän säteestä.

Konstruointi

Säännöllinen 257-kulmio on yksi harvoista tunnetuista konstruoituvista monikulmioista, joiden sivujen lukumäärä on pariton. Toisin sanoen se voidaan konstruoida geometrisesti, ainoastaan harppia ja merkitsemätöntä viivoitinta käyttämällä. Tämä perustuu siihen, että 257 on Fermat'n alkuluvuista eli muotoa 2²ⁿ + 1 olevista alkuluvuista. Tästä seuraa, että $\cos {\frac {\pi }{257}}$ ja $\cos {\frac {2\pi }{257}}$ ovat 128. asteen algebrallisia lukuja, ja kaikkien konstruoituvien lukujen tavoin ne voidaan esittää muodossa, jossa esiintyy neliöjuuria, mutta ei korkeampia juuria.

Carl Friedrich Gauss todisti jo vuonna 1801, että säännöllinen 257-kulmio on konstruoituva, mutta hän ei tuntenut keinoa, jolla se voitiin konstruoida. Eksplisiittisen konstruktion esitti ensimmäisenä Magnus Georg Paucker vuonna 1822 ja hänen jälkeensä Friedrich Julius Richelot vuonna 1832. Alla oleva animaatio esittää erästä myöhemmin esitettyä konstruktiota, jossa käytetään 150 ympyrää. Niistä 24 on Carlylen ympyröitä, joista yksi ratkaisee toisen asteen yhtälön x² + x − 64 = 0.

Symmetria

Säännöllisellä 257-kulmiolla on diedrinen symmetria Dih₂₅₇, kertalukua 514. Koska 257 on alkuluku, tällä symmetriaryhmällä on yksi aliryhmä, jolla myös on diedrinen symmetria: Dih₁, ja kaksi syklisen ryhmän symmetriaa: Z₂₅₇, ja Z₁.

257-grammi

257-grammi on 257-sivuinen tähtimonikulmio. Koska 257 on alkuluku, on 127 säännöllistä muotoa, joiden Schälflin symbolit ovat {257/n} kaikilla kokonais­luvuilla 2 = n = 128, sillä $\left\lfloor {\frac {257}{2}}\right\rfloor =128$.

Alla oleva kuva esittää 257-grammia {257/128}, jolla on 257 melkein säteittäistä sivua. Sen kärjissä kulmat ovat 180°/257 (~0.7°).