Äärellinen yksinkertainen ryhmä

Ryhmäteoriassa äärellinen yksinkertainen ryhmä on äärellinen ryhmä, jolla ei ole ei-triviaaleja normaaleja aliryhmiä. Äärellisten ryhmien luokittelulauseen mukaan jokainen tällainen ryhmä on joko syklinen, alternoiva, Lien tyyppinen tai jokin 26:sta sporadisesta ryhmästä.

Äärettömät perheet

Sykliset, alternoivat ja Lien tyypin ryhmät ovat numeroituvasti äärettömiä yksinkertaisten ryhmien perheitä:

• sykliset ryhmät $\mathbb {Z} /p\mathbb {Z}$
• alternoivat ryhmät $A_{n}$ kun $n\geq 5$
• klassiset Chevalleyn ryhmät $A_{n}(q)$, $B_{n}(q)$ ($n>1$), $C_{n}(q)$ ($n>2$), $D_{n}(q)$ ($n>3$)
• poikkeukselliset Chevalleyn ryhmät $E_{6}(q)$, $E_{7}(q)$, $E_{8}(q)$, $F_{4}(q)$, $G_{2}(q)$
• klassiset Steinbergin ryhmät ${}^{2}A_{n}(q^{2})$ ($n>1$), ${}^{2}D_{n}(q^{2})$ ($n>3$)
• poikkeukselliset Steinbergin ryhmät ${}^{2}E_{6}(q^{2})$, ${}^{3}D_{4}(q^{3})$
• Suzukin ryhmät ${}^{2}B_{2}(q)$ ($q=2^{2n+1}$, $n\geq 1$)
• Reen ryhmät $^{2}F_{4}(q)$ ($q=2^{2n+1}$, $n\geq 1$), Titsin ryhmä ${}^{2}F_{4}(2)'$
• Reen ryhmät ${}^{2}G_{2}(q)$ ($q=3^{2n+1}$, $n\geq 1$)

Sporadiset ryhmät

Sporadisia ryhmiä on yhteensä 26 kappaletta:

• Mathieun ryhmät M₁₁, M₁₂, M₂₂, M₂₃, M₂₄
• Jankon ryhmät J₁, J₂, J₃, J₄
• Conwayn ryhmät Co₃, Co₂, Co₁
• Fischerin ryhmät Fi₂₂, Fi₂₃, Fi₂₄'
• Higmanin–Simsin ryhmä HS
• McLaughlinin ryhmä McL
• Heldin ryhmä He
• Rudvalisin ryhmä Ru
• Suzukin sporadinen ryhmä Suz
• O'Nanin ryhmä O'N
• Haradan–Nortonin ryhmä HN
• Lyonsin ryhmä Ly
• Thompsonin ryhmä Th
• "Baby Monster" -ryhmä B
• "Monster"-ryhmä M

Lähteet

• Humphreys, John F.: A Course in Group Theory. Oxford: Oxford University Press, 1996. ISBN 0-19-853459-0 (englanniksi)