Ympyrän keskipisteen konstruointi

Ympyrän keskipisteen konstruointi tarkoittaa annetun ympyrän keskipisteen löytämistä. Lauseen matemaattinen todistus on peräisin Eukleideen teoksesta Alkeet. Lause on teoksen III kirjasta, joka käsittelee ympyröitä.

Lause

Ympyrän keskipisteen konstruointi. Olkoon ABC annettu ympyrä. Etsi ympyrän ABC keskipiste.

Todistus

Piirretään jana AB. Piirretään janalle keskipiste D, ja pisteeseen D janan normaali CD. Olkoon tässä C piste, jossa normaali CD ja ympyrän ABC kehä kohtaavat. Jatketaan janaa CD suoraksi CD, ja merkitään suoran CD sekä ympyrän ABC kehän leikkauspistettä pisteellä E. Piirretään janan CE keskipiste F.

Väite

Piste F on ympyrän ABC keskipiste.

Vastaoletus

Olkoon $G\neq F\!$. Oletetaan, että piste G on ympyrän ABC keskipiste. Piirretään janat AG, DG ja BG, ja saadaan kolmiot AGD ja DBG. Kolmioiden sivut AG ja BG ovat ympyrän säteinä yhtä pitkät. Sivut AD ja BD ovat keskenään yhtä pitkät, koska piste D jakaa janan AB kahtia. Lisäksi kolmioiden sivu DG on yhteinen. Kolmioiden vastinsivut ovat siis yhtä pitkät, ja kolmiot AGD ja DBG ovat yhtenevät. Tästä seuraa, että kulma ADG on yhtä suuri kuin kulma GDB.

Kahden suoran leikatessa toisensa siten, että syntyneet vieruskulmat ovat yhtä suuret, on kumpikin vieruskulma suora. Näin ollen kulmat ADG ja GDB ovat suoria. Toisaalta kulma ADF on suora, koska suora DF on suoran AB normaali. Vastaoletuksen mukaan kulmat ADF ja ADG ovat kuitenkin erisuuria, joten saatiin haluttu ristiriita. Näin ollen piste G ei ole ympyrän ABC keskipiste.

Piste valittiin mielivaltaisesti siten, että $G\neq F\!$. Koska vastaoletus johti ristiriitaan, piste F on ympyrän ABC keskipiste.

Seuraus

Piirretään ympyrän kehän kahden pisteen välille jana. Piirretään toinen jana kehän kahden pisteen välille siten, että jana jakaa ensiksi mainitun janan kahteen yhtä suureen osaan ja janojen välinen kulma on suora. Ympyrän keskipiste on leikkaavan janan keskipiste.

Lähteet

• Euclides: Thirteen books of Euclid’s elements. Vol. 2, Books III-IX/ translated from the text of Heiberg ; with introduction and commentary by sir Thomas L. Heath. Cambridge University Press, 1926.