Wallisin kaavat

Wallisin kaavat ovat menetelmiä, joilla voidaan laskea piin likiarvoja mielivaltaisen tarkasti. Kaavat on johtanut englantilainen matemaatikko John Wallis. Wallisin kaavojen mukaan:

(1) $\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {2n}{2n-1}}\cdot {\frac {2n}{2n+1}}=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot \ldots \cdot {\frac {2n}{2n-1}}\cdot {\frac {2n}{2n+1}}\right)={\frac {\pi }{2}}$

(2) $\lim _{n\to \infty }{\frac {(n!)^{2}\cdot 2^{2n}}{(2n!){\sqrt {n}}}}={\sqrt {\pi }}$.

Kaavojen todistus

Wallisin kaavat pystytään todistamaan osittaisintegroinnin avulla.

Merkitään jokaiselle $n\in \mathbb {N}$

$I_{n}=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{n}x\,{\text{d}}x$

$a_{n}={\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot \ldots \cdot {\frac {2n}{2n-1}}\cdot {\frac {2n}{2n+1}}$

$b_{n}={\frac {(n!)^{2}\cdot 2^{2n}}{(2n!){\sqrt {n}}}}$

Tällöin

$I_{0}={\frac {\pi }{2}}$ ja $I_{1}=1$

Jos $\scriptstyle n\geq 2$ , niin osittaisintegroimalla nähdään, että

$I_{n}=-\cos {\frac {\pi }{2}}\sin ^{n-1}{\frac {\pi }{2}}+\cos 0\sin ^{n-1}0-\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}-\cos x(n-1)\sin ^{n-2}x\cdot \cos x\,{\text{d}}x$

$=(n-1)\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\cos ^{2}x\sin ^{n-2}x\,{\text{d}}x=(n-1)\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}(1-\sin ^{2}x)\sin ^{n-2}x\,{\text{d}}x$

$=(n-1)(I_{n-2}-I_{n})$

Siispä saadaan rekursiivinen kaava $\scriptstyle I_{n}$:lle:

$I_{n}={\frac {n-1}{n}}\cdot I_{n-2}$

Tämän avulla nähdään, että

$I_{2n}={\frac {2n-1}{2n}}\cdot I_{2n-2}={\frac {2n-1}{2n}}\cdot {\frac {2n-3}{2n-2}}\cdot I_{2n-4}$

$=\ldots ={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {3}{4}}\cdot \ldots \cdot {\frac {2n-3}{2n-2}}\cdot {\frac {2n-1}{2n}}\cdot I_{0}$ ja

$I_{2n+1}={\frac {2n}{2n+1}}\cdot I_{2n-1}={\frac {2n}{2n+1}}\cdot {\frac {2n-2}{2n-1}}\cdot I_{2n-3}$

$=\ldots ={\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot \ldots \cdot {\frac {2n-2}{2n-1}}\cdot {\frac {2n}{2n+1}}\cdot I_{1}$

Näin ollen

${\frac {I_{2n+1}}{I_{2n}}}={\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot \ldots \cdot {\frac {2n-2}{2n-3}}\cdot {\frac {2n-2}{2n-1}}\cdot {\frac {2n}{2n-1}}\cdot {\frac {2n}{2n+1}}\cdot {\frac {I_{1}}{I_{0}}}=a_{n}\cdot {\frac {2}{\pi }}$ , eli

$a_{n}={\frac {I_{2n+1}}{I_{2n}}}\cdot {\frac {\pi }{2}}$

Koska $\sin ^{2n+2}x\leq \sin ^{2n+1}x\leq \sin ^{2n}x$ kaikilla $x\in \left[0,{\frac {\pi }{2}}\right]$ , niin $I_{2n+2}\leq I_{2n+1}\leq I_{2n}$ . Siten

$1\geq {\frac {I_{2n+1}}{I_{2n}}}\geq {\frac {I_{2n+2}}{I_{2n}}}={\frac {{\frac {2n+1}{2n+2}}I_{2n}}{I_{2n}}}={\frac {2n+1}{2n+2}}\to 1$ , kun $n\to \infty$ . Siis

$\lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }{\frac {I_{2n+1}}{I_{2n}}}\cdot {\frac {\pi }{2}}={\frac {\pi }{2}}$ , eli väite (1) on todistettu. $\Box$

Koska

$b_{n+1}^{2}=b_{n}^{2}\cdot {\frac {(2n+2)^{2}}{(2n+1)^{2}}}\cdot {\frac {n}{n+1}}$ ja

$a_{n}=a_{n+1}\cdot {\frac {(2n+1)(2n+3)}{(2n+2)^{2}}}$ , niin induktiotodistuksella nähdään helposti, että

$b_{n}^{2}={\frac {2n+1}{n}}\cdot a_{n}$ kaikilla n. Siten väite (2) seuraa väitteestä (1). $\Box$

Katso myös

• Luettelo piin laskukaavoista