Turbulenttinen kineettinen energia

Turbulenttinen kineettinen energia (TKE) kuvaa turbulenssiin liittyvää keskimääräistä liike-energiaa massayksikköä kohden. Turbulenssiin liittyvän hetkellisen liike-energian aikakeskiarvo on verrannollinen turbulenttisuuden voimakkuuteen, joten sen muutoksia tutkimalla voidaan havainnollistaa turbulenttisuuden vaihteluita. Liike-energian hetkellisen aikakeskiarvon muutokset saadaan selvitettyä TKE-yhtälöllä.

TKE-yhtälö

TKE-yhtälö ilmaisee turbulenssiin liittyvän hetkellisen liike-energian aikakeskiarvon muutosta tietyllä hetkellä. Tässä kohdassa TKE-yhtälöä tutkitaan ilmakehän rajakerroksen tapauksessa. Turbulenssin hetkellinen turbulenttinen kineettinen energia k_t on:

$k_{t}={\frac {1}{2}}\left(u^{'2}+v^{'2}+w^{'2}\right)$,

missä $u$, $v$ ja $w$ ovat tuulen kolme komponenttia ja ' tarkoittaa turbulenttista poikkeamaa keskiarvosta (esim. 30 min).

Keskimääräinen turbulenttinen kineettinen energia saadaan laskemalla tuulikomponenttien varianssien summan puolikas:

${\overline {k_{t}}}=k={\frac {1}{2}}\left({\overline {u^{'2}}}+{\overline {v^{'2}}}+{\overline {w^{'2}}}\right)$

Varsinainen TKE-yhtälö saadaan, kun määritellään keskimääräisen turbulenttisen kineettisen energian aikaderivaatta. Tällöin saadaan siis yhtälö, joka havainnollistaa turbulenttisuuden voimakkuuden muutoksia, esimerkiksi tuulen vaihteluita. Yhtälö on johdettavissa ilmakehän rajakerroksen liikeyhtälöistä, ja yksinkertaisuuden vuoksi tässä oletetaan:

• Turbulenssi on homogeenin horisontaalisesti, jolloin: ${\frac {\partial }{\partial x}}={\frac {\partial }{\partial y}}=0$
• Turbulenssissa ei ole keskimääräistä vertikaalia liikettä, jolloin: $w=0$

Nyt TKE-yhtälöksi saadaan:

${\frac {\partial k}{\partial t}}=-{\frac {\partial }{\partial z}}\left[{\overline {k_{t}w^{'}}}+{\frac {\overline {p^{'}w^{'}}}{\overrightarrow {\rho _{0}}}}\right]-{\overline {u^{'}w^{'}}}{\frac {\partial {\overline {u}}}{\partial z}}-{\overline {v^{'}w^{'}}}{\frac {\partial {\overline {v}}}{\partial z}}+{\frac {g}{\overline {\theta }}}{\overline {w^{'}\theta ^{'}}}-\epsilon$,

missä $p$ on ilmanpaine, $\rho _{0}$ ilman tiheys ja $g$ gravitaatiokiihtyvyys.

Vasemmalla puolella yhtälössä on keskimääräisen turbulenttisen kineettisen energian muutosnopeus, jonka suuruuteen vaikuttavat yhtälön oikealla puolella olevat termit. Näiden termien merkitys on:

• $-{\frac {\partial }{\partial z}}\left[{\overline {k_{t}w^{'}}}+{\frac {\overline {p^{'}w^{'}}}{\overrightarrow {\rho _{0}}}}\right]$ on kuljetustermi, eli k_t:n ja painevaihteluiden nettopystyvuokonvergenssi. Kuljetustermi kuvaa olemassa olevan turbulenssin pystysuuntaista uudelleenjakautumista. Kuljetustermi voi yhtä lailla olla positiivinen kuin negatiivinenkin. K-teorian avulla termi voidaan parametrisoida muotoon: ${\frac {\partial }{\partial z}}K_{k}{\frac {\partial k}{\partial z}}$
• $-{\overline {u^{'}w^{'}}}{\frac {\partial {\overline {u}}}{\partial z}}-{\overline {v^{'}w^{'}}}{\frac {\partial {\overline {v}}}{\partial z}}$ ilmaisee mekaanisen energiantuoton. Mekaanisen tuoton vaikutus TKE:hen riippuu paikallisesta tuuliväänteestä ja termi on positiivinen. Näin ollen paikallinen tuuliväänne usein lisää turbulenssin voimakkuutta. Pintakerroksessa termi on suurempi kuin hyvin sekoittuneessa kerroksessa, mikä nähdään hyvin parametrisoidusta muodosta. K-teorian avulla termi saadaan parametrisoitua muotoon: $K_{m}\left({\frac {\partial U}{\partial z}}\right)^{2}$
• ${\frac {g}{\overline {\theta }}}{\overline {w^{'}\theta ^{'}}}$ on termi, joka ilmaisee turbulenssin nostetuoton tai -häviön. Termi riippuu turbulenttisen lämmönvuon suunnasta. Tilanteessa, jossa rajakerros on epästabiili, eli lämmönvuo on ylöspäin, nostetermi pyrkii voimistamaan turbulenssia. Stabiilissa tilanteessa taas lämmönvuo on alaspäin, eli pinta on kylmempi kuin ilma, jolloin häviötermi pyrkii heikentämään paikallista turbulenssia. K-teorian avulla termi voidaan parametrisoida muotoon: $-{\frac {g}{\overline {\theta }}}K_{\theta }{\frac {\partial \theta }{\partial z}}$
• $-\epsilon$ on termi, jonka nimi on dissipaatio. Dissipaatio-termi ($-\epsilon$) on aina negatiivinen, sillä se kuvaa sitä energiaa mikä turbulenssilla kuluu sen tehdessä työtä molekulaarista viskositeettia vastaan. Dissipaatio siis aina vähentää turbulenttista kineettistä energiaa ja lopulta muuttaa sen lämmöksi. Dissipaatio termi on sitä suurempi itseisarvoltaan mitä enemmän turbulenttista kineettistä energiaa on.

Lähteet

• Savijärvi, Hannu & Vihma, Timo (2001) Rajakerroksen fysiikka 1. Helsinki