Tasainen suppeneminen

Tasainen suppeneminen on funktiojonon ominaisuus, joka on pisteittäistä suppenemista vahvempi. Sitä voi kuvailla karkeasti niin, että funktion arvot suppenevat samanaikaisesti jokaisessa pisteessä kohti rajafunktiota.

Tasaisesta suppenemisesta seuraa käytännöllisiä tuloksia funktiojonojen integraaleille, derivaatoille ja summille.

Matemaattinen määritelmä

Olkoon $\Delta \subset \mathbb {R}$ jokin väli, $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ jono funktioita $\Delta \rightarrow \mathbb {R}$ ja väli $\Delta '\subset \Delta$. Jono $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ suppenee välillä $\Delta '$ tasaisesti kohti funktiota $f:\Delta '\rightarrow \mathbb {R}$, jos

$\sup _{x\in \Delta '}|f_{n}(x)-f(x)|\rightarrow 0$, kun $n\rightarrow \infty$.

Yhtäpitävä ehto tasaiselle suppenevuudelle on, että jokaista lukua $\varepsilon >0$ kohti on luku $n_{\varepsilon }\in \mathbb {N}$ siten, että kun $n>n_{\varepsilon }$, niin

$|f_{n}(x)-f(x)|<\varepsilon$

kaikissa pisteissä $x\in \Delta '$.

Tasaisen suppenemisen määritelmä voidaan yleistää reaalifunktioilta metrisille avaruuksille määritellyille kuvauksille.

Ominaisuuksia

Jos funktiojono suppenee tasaisesti jollakin välillä, se suppenee tasaisesti sen jokaisella osavälillä. Tasaisesti suppeneva funktiojono suppenee myös pisteittäin kohti samaa rajafunktiota.

Kaikki pisteittäin suppenevat funktiojonot eivät suppene tasaisesti. Tavallinen ja helppo esimerkki tällaisesta jonosta on funktiot

$f_{n}(x)=x^{n}$

välillä $]0,1[=\{x\,|\,0<x<1\}$. Tämä jono suppenee pisteittäin kohti funktiota

$f(x)=0$,

jolloin jos se suppenisi tasaisesti, se suppenisi tasaisesti kohti samaa funktiota. Toisaalta kuitenkin pätee

$\sup _{x\in ]0,1[}|f_{n}(x)-f(x)|=\sup _{x\in ]0,1[}x^{n}=1^{n}=1$,

eli arvo ei suppene nollaan kun $n\rightarrow \infty$. Täten jono ei suppene tasaisesti.

Tasainen suppenevuus on ehto, mikä vaaditaan, että raja-arvon oton ja Riemannin integraalin välinen järjestys voidaan vaihtaa.

Kirjallisuutta

• Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki: Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-6 (pdf).

Aiheesta muualla

• MathWorld. Uniform Convergence