Suppeneva sarja

Sarjan summa määritellään sarjan äärellisten osasummien muodostaman lukujonon raja-arvona. Jos tällainen summa löytyy, sarja suppenee. Jos sarja ei suppene, on se hajaantuva sarja. Suppenemisen voi osoittaa määritelmän avulla tai suppenemistesteillä.

Määritelmä

Sarja $\sum _{k=1}^{\infty }x_{k}=x_{1}+x_{2}+...$ suppenee, jos sen osasummien jono $\left(S_{n}\right)=\left(S_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }$ suppenee, ts. jos $\exists S\in \mathbb {R}$ s.e. $\lim \limits _{n\to \infty }S_{n}=S$. Tällöin S on sarjan summa ja merkitään

$\sum _{k=1}^{\infty }x_{k}=x_{1}+x_{2}+...=S$

Sarjan suppenemiseen liittyviä lauseita

Lause 1.

Jos $\sum _{k=1}^{\infty }x_{k}$ suppenee, niin $\lim \limits _{k\to \infty }x_{k}=0$

Lause 2.

Suppenevalle sarjalle erotusta

$R_{n}=S-S_{n}$

sanotaan sarjan n:nneksi jäännöstermiksi.

Lause 3.

Suppenevalle sarjalle $\lim \limits _{n\to \infty }R_{n}=0$

Lause 4.

Jos $\sum _{k=1}^{\infty }x_{k}=X$ ja $\sum _{k=1}^{\infty }y_{k}=Y$, sekä $a\in \mathbb {R}$, niin

$a)\sum _{k=1}^{\infty }(x_{k}+y_{k})=X+Y$

$b)\sum _{k=1}^{\infty }ax_{k}=aX$

Lause 5.

Jos sarja $\sum _{k=1}^{\infty }x_{k}$ suppenee ja sarja $\sum _{k=1}^{\infty }y_{k}$ hajaantuu, niin summasarja $\sum _{k=1}^{\infty }(x_{k}+y_{k})$ hajaantuu. Jos molemmat sarjat $\sum _{k=1}^{\infty }x_{k}$ ja $\sum _{k=1}^{\infty }y_{k}$ hajaantuvat, niin niiden summasarja $\sum _{k=1}^{\infty }(x_{k}+y_{k})$ voi joko a)supeta tai b)hajaantua.

Lause 6. Cauchyn yleinen suppenemiskriterio sarjoille

Sarja $\sum _{k=1}^{\infty }x_{k}$ suppenee $\Longleftrightarrow \varepsilon >0$ kohti $\exists n_{\varepsilon >0}\in \mathbb {N}$ s.e.

$\vert x_{n+1}+x_{n+2}+x_{n+3}+...+x_{n+p}\vert <\varepsilon$

kaikilla $p\in \mathbb {N}$ aina kun $n>n_{\varepsilon }$

Itseisesti suppeneva sarja

Määritelmä

sarja $\sum _{k=1}^{\infty }x_{k}$ suppenee itseisesti, jos sarja $\sum _{k=1}^{\infty }\vert x_{k}\vert$ suppenee.

Lause 7.

Jos $\sum _{k=1}^{\infty }\vert x_{k}\vert$ suppenee, niin $\sum _{k=1}^{\infty }x_{k}$ suppenee. Tällöin sarjoille pätee

$\vert \sum _{k=1}^{\infty }x_{k}\vert \leqslant \sum _{k=1}^{\infty }|x_{k}|$

Lähteet

Lauri Myrberg: Differentiaali- ja integraalilaskenta korkeakouluja varten osa 2, 1.-2. painos, Tampereen Kirjapaino-Oy Tamprint, 1978

Jouni Kankaanpää, Lauri Myrbeg, Jussi Väisälä, Hannu Honkasalo: Differentiaali- ja integraalilaskenta I.2