Satunnaiskenttä

Satunnaiskenttä (engl. random field ) tai satunnaisfunktio (engl. random function) on todennäköisyyslaskennassa stokastisten prosessien yleistys, jossa satunnaismuuttujien indeksoinnissa ei enää tarvitse rajoittua kokonaislukuihin eli "järjestysnumeroihin" (diskreetti stokastinen prosessi) tai reaalilukuarvoihin eli "aikaan" tai "matkaan" (jatkuva stokastinen prosessi). Satunnaiskentässä eri satunnaismuuttujat on indeksoitu ja järjestetty moniulotteisilla vektoreilla tai moniston pisteillä. Vetrorien tai moniston pisteiden laatu määrittää satunnaiskentän satunnaismuuttujien välisen metrisen rakenteen. Satunnaismuuttujien jakaumat ja satunnaismuuttujien väliset riippuvuudet määrittävät puolestaan satunnaiskentän arvojen sisäisen rakenteen. Satunnaiskenttien teoriassa voidaan soveltaa monimuuttujaista yhteisjakaumaa, mutta soveltamisessa käytäntöön tyydytään useimmiten huomioimaan jakaumien kahta ensimmäistä momenttia. Nämä ovat odotusarvo ja kovarianssi. Riippuvuuksien arvioinnissa kovarianssi korvataan joskus muilla satunnaisuutta ilmaisevilla funktioilla. Satunnaismuuttujien välisiä riippuvuuksia havainnollistetaan spatiaalisen autokorrelaation avulla.

Esimerkkejä

Mittaustilanteita

Kahden muuttujan koordinaatistossa, eli kouluissa tuneetulla xy-koordinaatistossa, on jokaisen tason pisteessä satunnaismuuttuja. Eri satunnaismuuttujiin voidaan viitata koordinaateilla esimerkiksi merkinnällä S(x,y) tai niihin voidaan viitata pisteiden P_i tunnuksilla S_Pi tai numeroinnilla S_i. Silloin voidaan tulkita, että koordinaatit x ja y ovat satunnaismuuttujien indeksit tai tason pisteet P_i ovat satunnaismuuttujien indeksejä. Satunnaismuuttujien arvot vaihtelevat kunkin oman satunnaisjakaumansa mukaisesti. Satunnaismuuttujien arvot voivat lisäksi riippua toisitaan eri mekanismeilla. Riippuvuus voi heikentyä etäisyyden kasvaessa ja se saattaa loppua tietyn etäisyyden jälkeen. Satunnaismuuttuja voivat myös olla toisistaan riippumattomia.

Esimerkkejä tai ehdotuksia käytännön sovelluksista on runsaasti. Sattunaiskentällä voisi mallintaa alueen lumen syvyyttä lumimyrksyn jälkeen. Alueen paikkakoordinaatistona olisi sopivaan asentoon asetetun xy-koordinaatisto. Satunnaismuuttujien saamat arvot kussakin paikassa (x,y) olisivat lumen syvyys tai lumen vesipitoisuus. Eri pisteissä olevien lumen syvyyksien jakaumat ja niiden väliset korrelaatiot määritettäisiin tilastollisesti olettamalla jakaumien olevan samalaiset eri pisteissä. Vastaavia satunnaiskentän sovellusalueita ovat esimerkiksi valtameren vedenpinnan korkeus, aurinkoenergia määrä maastossa, maapallon pintalämpötilat, alueen pohjaveden korkeus, alueen asukastiheys ja viljelyalueen satoisuus.

Jos koodinaatisto olisi kolmeulotteinen eli tila-avaruus, jonka pisteiden esittämiseksi tarvitaan koordinaatit x, y ja z, voidaan käsitellä tilan satunnaisuuksia merkinnällä S(x,y,z). Tällä laajennuksella voidaan mallintaa esimerkiksi saasteiden leviäminen järveen tai mereen, malmipitoisuutta kalliossa, lämpötilan jakaantumista ilmakehässä tai aivoskannausta. Muuttamalla indeksointia sopivaksi, voidaan käsitellä satunnaiskentillä muita kuin spatiallisia kenttiä. Tällaisia mallinnettavia asioita olisivat esimerkiksi vakuutusseuraamukset tulipaloissa ja työttömyysaste valtion taloudessa.

Gaussiset satunnaiskentät

Monissa satunnaiskenttien sovelluksissa käytetään Gaussista satunnaiskenttää, jonka satunnaismuuttujat ovat kaikki normaalisti jakautuneita. Satunnaismuuttuja on Gaussinen, jos sen jakaumafunktio on Gaussin käyrä. Gaussin käyrän parametrejä ovat vain odotusarvo ja varianssi. Satunnaiskentän kaikilla satuunnaismuuttujilla voi olla identtiset jakaumat, mutta sellaisiakin kenttiä käytetään, jossa odotusarvo vaihtelee kentän eri osissa tai toisissa vastaavasti varianssi. Yleisin tapaus on sellainen kenttä, jossa mikään satunnaismuuttujan odotusarvo tai varianssi ei ole sama.

Yleisiä ominaisuuksia

Jos $Y$ ja $Z$ ovat satunnaiskenttiä, niin silloin myös niiden satunnaismuuttujien linearikombinaatiot $aY(x)+bZ(x)$muodostavat satunnaiskentän. Sama pätee satunnaiskenttien tuloihin $Z(x)Y(x).$

Satunnaiskentän jatkuvuuden määritelmissä on ainakin kolmenlaisia lähestymistapoja. Niiden mukaan jatkuvuuden varmuus hieman vaihtelee. Määritelmiä ovat:

• jatkuva kaikissa pisteissä todennäköisyydellä yksi (engl. continious sample path with probability one)
• lähes varma jatkuvuus (engl. almost surely continious)
• erotuksen neliön odotusarvon jatkuvuus (engl. mean square continious)

Esimerkiksi jatkuva kaikissa pisteissä todennäköisyydellä yksi määritellään seuraavasti. Valitaan mielivaltainen satunnaiskentän $Y$ alueella $F$ oleva piste $x\in F$ (indeksi) ja merkitään sille ääretön jono satunnaiskentän pisteitä $x_{i}\in F$ siten, että $||x_{i}-x||\rightarrow 0$ kun $i\rightarrow \infty$. Satunnaiskenttä on jatkuva pisteessä $x$ todennäköisyydellä yksi, jos

$P(|Y(x_{i})-Y(x)|\rightarrow 0)=1.$

Satunnaiskenttä on kaikkialla jatkuva, kun näin on laita kaikissa pisteissä todennäköisyydellä yksi.

Satunnaiskentän derivoituvuus voidaan määritellä suunnatun derivaatan tavoin erotusosamääränä tietyssä suunnassa ja sen suppenemista tarkastellaan samalla todennäköisyyteen perustuvalla lähestymistavalla kuin jatkuvuudessakin. Tällöin saadaan satunnaiskentän gradientti, joka on avaruusvektori (myös engl. potential vector field).

Stationäärisyys

Satunnaiskentän stationäärisyyden aste näyttelee merkittävää roolia tilastollisen soveltamisen kannalta. Satunnaiskentän yhteiset tai sännöllisesti muuttuvat ominaisuudet mahdollistavat laajempien päätelmien tekemisen eri pisteiden saamista arvoista. Satunnaismuuttujilla saattaa olla sama odotusarvo tai odotusarvot muodostavat erisuuntaisia trendejä. Autokorrelaation aste voi olla myös säännöllinen.

Vahva stationäärisyys

Stationäärinen satunnaiskenttä tai vahvasti stationäärinen satunnaiskenttä (engl. strictly stationary) on kauttaaltaan samanlainen eli satunnismuuttujilla on kaikilla sama jakauma. Tällaisen satunnaiskentän yhteisjakauma on yksinkertainen muodostaa, koska se on paikasta riippumaton, ja sen satunnaismuuttujilla on kauttaaltaan identtiset momentit. Yleisesti käytetty stationäärinen satunnaiskenttä on Gaussinen satunnaiskenttä, jossa kaikkie satunnaismuuttujien arvot ovat normaalisti jakautuneet samalla odotusarvolla ja varianssilla. Joskus stationääristä satunnaiskenttää kutsutaan homogeeniseksi satunnaiskentäksi (engl. homogeneous random fields).

Kaikilla satunnaiskentän $Z$ satunnaismuuttujilla $Z(x)$ on sama odotusarvo $E[Z(x)]=\mu$, koska jakaumat ovat identtiset. Muutkin momentit ovat samat, vaikka niiden ei tarvitse olla äärellisinä olemassa. Jos toinen momentti

$E[Z(x)^{2}]=\nu <\infty$

on äärellisenä olemassa, niin sitä ovat myös varianssi

$\sigma ^{2}(Z(x))=Var(Z(x))=E[(Z(x)-\mu )^{2}]=\sigma ^{2}$

ja kovarianssi

$\sigma (Z(x),Z(y))=E[(Z(x)-\mu )(Z(x)-\mu )].$

Koska satunnaismuuttujien jakaumat ovat identtiset, voidaan myös niiden välinen autokorrelaatio olettaa samalaiseksi koko satunnaiskentässä. Jos verrataan kohdissa x ja y olevaa kovarianssia muualla olevien kohtien v ja v+(y-x) kovarianssiin, voidaan niiden todeta olevan samat. Kovarianssi riippu siten vain kohtien välisestä vektorista $h=y-x$, jolloin voidaan puhua jo kovarianssifunktiosta

$C(h)=E[(Z(x+h)-\mu )(Z(x)-\mu )].$

Merkinnöistä voi päätellä, että kovarianssi saa vierekkäisissä kohdissa, joiden etäisyysvektori on nolla, arvon

$C(0)=\sigma ^{2}.$

Muutkin momentit voidaan määrittää tarkasti.

Monet satunnaiskenttää käyttävät soveltajat eivät koe lähes milloinkaan, että sovelluskohde täyttäisi vahvan stationäärisuuden ehtoja. Siksi on luotu satunnaiskentille muitakin stationäärisyysehtoja, joissa on vain osa vahvan staionäärisuuden ehdoista voimassa.

Heikko stationäärisyys

Heikosti stationäärinen satunnaiskenttä (engl. weakly/wide-sense stationary) eli toisen kertaluvun mielessä stationäärinen satunnaiskenttä (engl. second-order stationary) on määritelty matemaattisesti siten, että vahvasti stationäärisen satunnaiskentän kaksi ensimmäistä momenttia sisältyy kriteereihin. Stationäärisyys on heikkoa, jos voidaan vahvistaa seuraavat kriteerit:

• odotusarvo on vakio: $E[Z(x)]=\mu$
• toinen momentti on äärellinen: $E[Z(x)^{2}]<\infty$
• kovarianssi riippuu vain pisteiden välisestä etäisyysvektorista $h$: $C(h)=E[(Z(x+h)-\mu )(Z(x)-\mu )]$

Muut vahavasti stationääriset satunnaiskentän piirteet jätetään huomiotta, koska monissa käytännön sovelluksissa niitä ei pystytä vahvistamaan. Satunnaismuuttujien yhteisjakaumat voivat olla sellaisia, että niiden keskiarvot ja varianssit ovat kaikkialla samat, mutta kovarianssit voivat vaihdella eri suunnissa ja eri välimatkoilla. Kovarianssifunktio voidaan silloin kirjoittaa korrelaatiofunktion avulla muodossa

$C(h)=\sigma ^{2}\cdot \rho (h).$

Heikosti stationäärinen satunnaiskenttä voi olla myös isotrooppinen. Isotrooppisuus vaikuttaa kovarianssifunktioon siten, että kahden satunnaismuuttujan välinen kovarianssi riippuu enää vain niiden välisestä etäisyydestä. Funktiota kutsutaankin tällöin isotrooppiseksi kovarianssifunktioksi, muussa tapauksessa anistrooppiseksi kovarianssifunktioksi.

Sisäinen stationäärisyys

Sisäisesti stationäärisessä satunnaiskentässä (engl. intrisic stationary) satunnaismuuttujien $Z(x)$ erotukset $Y(x,h)=Z(x+h)-Z(x)$ ovat heikosti stationäärejä kaikilla etäisyysvektorin $h$ arvoilla. Joskus sanotaan, että satunnaiskenttä on heikosti stationäärinen erotuksien suhteen. Silloin

• odotusarvo $E[Y(x,h)]=\mu (h)$ ei riipu paikasta, mutta voi riippua etäisyysvektorista lineaarisesti
• toinen momentti on äärellinen eli $E[Y(x,h)^{2}]<\infty$ kaikilla etäisyysvektoreilla ja
• varianssi $Var(Z(x+h)-Z(x))=\sigma ^{2}(Z(x+h)-Z(x))=2\gamma (h),$ jota kutsutaan satunnaiskentän $Z$ variogrammiksi, riippuu erotusvektorista

Lähteet

• Vanmarcke, Erik: Random Fields - Analysis and Synthesis. THE M.I.T. PRESS, 2010. ISBN 978-981-256-297-5 Vapaa verkkoversio (pdf) (viitattu 21.5.2015). (englanniksi)
• Heikkinen, Juha: Geostatistiikka (Arkistoitu – Internet Archive), luentomoniste, Helsingin Yliopisto, 2006