Residylaskenta

Residylaskenta on tekniikka, jolla voidaan laskea polkuintegraaleja. Tekniikassa käytetään hyödyksi Laurentin sarjaa.

Matemaattinen kuvaus

Tehtävänä on laskea integraali $\int \limits _{\Gamma }f(z)dz$, missä $\Gamma$ on yksinkertainen suljettu positiivisesti suunnattu ääriviiva ja $f(z)$ on analyyttinen $\Gamma$:ssa lukuun ottamatta yksittäistä sisäpuolista pistettä $z_{0}$. Tällöin funktio $f(z)$ voidaan esittää Laurentin sarjana

$f(z)=\sum _{j=-\infty }^{\infty }a_{j}(z-z_{0})^{j}$.

Tästä integraalin arvoksi saadaan

$\int \limits _{\Gamma }f(z)dz=2\pi ia_{-1}$.

Tässä kerrointa $a_{-1}$ kutsutaan funktion $f$ residyksi pisteessä $z_{0}$ ja sitä merkitään $Res(f;z_{0})$ tai lyhyemmin $Res(z_{0})$.

Esimerkki

Tarkastellaan funktiota $f(z)=ze^{3/z}$ ja lasketaan sille polkuintegraali $\int \limits _{,|z|=4}ze^{3/z}dz$ pitkin ympyrän kehää $|z|=4$.

Ratkaisu: Tiedetään, että funktiolla on residy $Res(z_{0})$ pisteessä $z=0$. Funktiolla $e^{\omega }$ on Taylorin sarja $e^{\omega }=\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {\omega ^{j}}{j!}}$. Tästä saadaan Laurentin sarjaksi funktiolle $ze^{3/z}$ pisteen $z=0$ ympäristössä

$ze^{3/z}=z\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {1}{j!}}\left({\frac {3}{z}}\right)^{j}=z+3+{\frac {3^{2}}{2!}}z^{-1}+{\frac {3^{3}}{3!}}z^{-2}+\cdots$.

Tällöin $Res(0)={\frac {3^{2}}{2!}}={\frac {9}{2}}$.

Koska piste $z=0$ on funktion $f(z)$ ainoa nollakohta ympyrän $|z|=4$ sisällä, saadaan integraalin arvoksi $\int \limits _{,|z|=4}ze^{3/z}dz=2\pi i{\frac {9}{2}}=9\pi i$.

Lähteet

• Saff, Edward B. & Snider, Arthur D.: Fundamentals of Complex Analysis: Engineering, Science, and Mathematics, Pearson 3. painos

Kirjallisuutta

• Väisälä, Kalle: Matematiikka IV. (141, 10. painos) Espoo: Otakustantamo, 1986 (1965). ISBN 951-671-087-5
• Lehto, Olli: Funktioteoria I–II. Helsinki: Limes ry, 1985 (1980). ISBN 951-745-077-X
• Spiegel, Murray R. & Lipschutz, Seymour & Schiller, John J. &; Spellman, Dennis: Complex Variables. (Shaum's Outline Series) McGraw-Hill Book Company, 2009 (1964). ISBN 978-0-07-161569-3