Redusoitu massa

Redusoitu massa on efektiivinen inertiamassa Newtonin kahden kappaleen mekaniikassa. Newtonin II lain mukaan kahden kappaleen suhteellinen liike voidaan kuvata vain yhden massan, redusoidun massan, avulla.

Oletetaan kaksi kappaletta, toinen massaltaan $m_{1}\!\,$ ja toinen $m_{2}\!\,$, jotka kiertävät kappaleiden massakeskipistettä. Vastaava yksiosaisen kappaleen ongelma, jossa kappaleen sijainti toiseen osaan nähden on tuntematon, vastaa yhden kappaleen massaa

$m_{\text{red}}=\mu ={\cfrac {1}{{\cfrac {1}{m_{1}}}+{\cfrac {1}{m_{2}}}}}={\cfrac {m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}},\!\,$

missä tämä massan voima on annettu kahden kappaleen välisenä vetovoimana. Tämä on vain puolet kahden massan harmonisesta keskiarvosta.

Tämä voidaan todistaa helposti. Käytetään Newtonin II lakia. Voima F, jonka kappale 2 aiheuttaa kappaleeseen 1, on

$F_{12}=m_{1}a_{1}.\!\,$

Voima, jonka kappale 1 aiheuttaa kappaleeseen 2, on

$F_{21}=m_{2}a_{2}.\!\,$

Newtonin III lain mukaan:

$F_{12}=-F_{21}.\!\,$

Siksi,

$m_{1}a_{1}=-m_{2}a_{2}.\!\,$

ja

$a_{2}=-{m_{1} \over m_{2}}a_{1}.\!\,$

Kahden kappaleen välinen suhteellinen kiihtyvyys on annettu

$a=a_{1}-a_{2}=\left({1+{m_{1} \over m_{2}}}\right)a_{1}={{m_{2}+m_{1}} \over {m_{1}m_{2}}}m_{1}a_{1}={F_{12} \over m_{\text{red}}}.$

Tästä voidaan päätellä, että kappale 1 liikkuu suhteessa kappaleen 2 paikkaan kuin yhden kappaleen massa suhteessa redusoituun massaan.

Redusoitua massaa yleisesti merkitään kreikkalaisella kirjaimella $\mu .\!\,$

Redusoitu massa on aina vähemmän tai yhtä paljon kuin jokaisen kappaleen massa.

Katso myös

Massakeskipiste

Newtonin lait

Kirjallisuutta

• Understanding Physics; Mansfield ja O´Sullivan; John Wiley & Sons Ltd 1998