Pistemääräfunktio

Matemaattisessa tilastotieteessä pistemääräfunktioksi kutsutaan uskottavuusfunktion $L(\theta ;X)$ logaritmin derivaattaa. Pistemääräfunktio ilmaisee uskottavuusfunktion riippuvuutta parametrista $\theta$.

Ratkaisemalla pistemääräfunktion nollakohta voidaan laskea parametrin $\theta$ suurimman uskottavuuden estimaatti.

Määritelmä

Olkoon otos $X$ ja sen uskottavuusfunktio $L(\theta ;X)$. Tällöin pistemääräfunktio $V$ voidaan löytää ketjusäännön avulla:

$V\equiv V(\theta ,X)={\frac {\partial }{\partial \theta }}\log L(\theta ;X)={\frac {1}{L(\theta ;X)}}{\frac {\partial L(\theta ;X)}{\partial \theta }}.$

Ominaisuuksia

Keskiarvo

Pistemääräfunktion $V$ odotusarvo havainnoilla $x$, parametrilla $\theta$ on nolla. Tämä voidaan havaita kirjoittamalla uskottavuusfunktio $L(\theta ;x)=f(x;\theta )$ tiheysfunktiona,

$\mathbb {E} (V|\theta )=\int _{x=-\infty }^{+\infty }\left({\frac {\partial }{\partial \theta }}\log f(x;\theta )\right)f(x;\theta )dx=\int _{x=-\infty }^{+\infty }{\frac {\frac {\partial f(x;\theta )}{\partial \theta }}{f(x;\theta )}}f(x;\theta )dx$

mikäli oletetaan että derivoinnin ja integroinnin järjestys voidaan vaihtaa (katso Leibnizin integraalisääntö), niin integraali voidaan yksinkertaistaa muotoon:

$\mathbb {E} (V|\theta )=\int _{x=-\infty }^{+\infty }{\frac {\partial f(x;\theta )}{\partial \theta }}\,dx={\frac {\partial }{\partial \theta }}\int _{x=-\infty }^{+\infty }f(x;\theta )\,dx={\frac {\partial }{\partial \theta }}1=0.$

Varianssi

Pistemääräfunktion varianssia kutsutaan Fisher-informaatioksi ja sitä merkitään ${\mathcal {I}}(\theta )$. Koska pistemääräfunktion odotusarvo on nolla, voidaan Fisher-informaatio esittää muodossa:

${\mathcal {I}}(\theta )=\mathbb {E} \left\{\left.\left[{\frac {\partial }{\partial \theta }}\log L(\theta ;X)\right]^{2}\right|\theta \right\}.$

Katso myös

• Ronald Fisher

Lähteet

• Cox, D.R., Hinkley, D.V. (1974) Theoretical Statistics, Chapman & Hall. ISBN 0-412-12420-3
• Schervish, Mark J.: Theory of Statistics, s. kappale 2.3.1. New York: Springer, 1995. ISBN 0-387-94546-6